(最小生成树的计数) bzoj 1060
1016: [JSOI2008]最小生成树计数
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Description
现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树,而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树。(如果两颗最小生成树中至少有一条边不同,则这两个最小生成树就是不同的)。由于不同的最小生成树可能很多,所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了。
Input
第一行包含两个数,n和m,其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用1~n的整数编号。接下来的m行,每行包含两个整数:a, b, c,表示节点a, b之间的边的权值为c,其中1<=c<=1,000,000,000。数据保证不会出现自回边和重边。注意:具有相同权值的边不会超过10条。
Output
输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对31011的模就可以了。
Sample Input
4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1
Sample Output
8
HINT
Source
科普一下
最小生成树的性质。
做这道题要明白最小生成树的两个性质:
1.两个不同的最小生成树的边权排序之后得到的序列是完全一样的。
理解:
设最小生成树有n条边,任意两棵最小生成树分别称为A, B, 如果e是一条边,用w(e)表示该边的权值。
A的边按权值递增排序后为a1, a2,……an w(a1)≤w(a2)≤……w(an)
B的边按权值递增排序后为b1, b2,……bn w(b1)≤w(b2)≤……w(bn)
设i是两个边列表中,第一次出现不同边的位置,ai≠bi
不妨设w(ai)≥w(bi)
情形1 如果树A中包含边bi,则一定有j>i使得 bi=aj ,事实上,这时有 w(bi)=w(aj)≥w(ai) ≥w(bi) 故 w(bi)=w(aj)=w(ai),在树A的边列表中交换边ai和 aj的位置并不会影响树A的边权有序列表,两棵树在第i个位置的边变成同一条边。
情形2 树A中并不包含边bi,则把bi加到树A上,形成一个圈,由于A是最小生成树,这个圈里任意一条边的权值都不大于w(bi) ,另外,这个圈里存在边aj不在树B中。因此,有w(aj)≤w(bi),且j>i (因为aj不在B中)。于是,有w(bi)≤w(ai)≤w(aj)≤w(bi),因此 w(ai)= w(aj) = w(bi)。那么在树A中把aj换成bi仍然保持它是一棵最小生成树,并不会影响树A的边权有序列表,并且转换成情形1。
2.相同权值的边算完之后树的连通性是一样的。
若连通性不同,说明还可以往进加当前权值的边啊,那就是没算完。
根据这两个性质,用乘法原理,dfs就可以了。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstdlib> using namespace std; const int Mod=31011; int n,m,sum; int fa[105]; struct node { int x,y,w; }e[1005]; bool cmp(node aa,node bb) { return aa.w<bb.w; } struct data { int l,r,num; }a[1005]; /*int find(int x) { if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]); return x; }*///这样写是WA的啊 int find(int x) { if(x==fa[x]) return x; return find(fa[x]); } void dfs(int x,int now,int k) { if(now==a[x].r+1) { if(k==a[x].num) sum++; return ; } int fx,fy; fx=find(e[now].x),fy=find(e[now].y); if(fx!=fy) { fa[fx]=fy; dfs(x,now+1,k+1); fa[fx]=fx; } dfs(x,now+1,k); } int main() { int tot=0,cnt=0; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w); sort(e+1,e+1+m,cmp); for(int i=1;i<=m;i++) { if(e[i].w!=e[i-1].w) { a[cnt].r=i-1; a[++cnt].l=i; } int fx,fy; fx=find(e[i].x),fy=find(e[i].y); if(fx!=fy) { fa[fx]=fy; a[cnt].num++; tot++; } } a[cnt].r=m; if(tot!=n-1) { printf("0\n"); return 0; } for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; int ans=1; for(int i=1;i<=cnt;i++) { sum=0; dfs(i,a[i].l,0); ans=(ans*sum)%Mod; for(int j=a[i].l;j<=a[i].r;j++) { int fx,fy; fx=find(e[j].x),fy=find(e[j].y); if(fx!=fy) { fa[fx]=fy; } } } printf("%d\n",ans); return 0; }