高斯消元

矩阵

定义

设 $m,n$ 是两个正整数，由数域 $\mathbb{F}$ 中 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,\cdots ,m,j=1,\cdots ,n)$ 排成的一个 $m$ 行 $n$ 列的矩形图表

$(a_{ij})=(a_{ij}{)}_{m\times n}=\mathit{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$或$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

称为 $\mathbb{F}$ 上的一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵或 $m\times n$ 矩阵。特别地，当 $m=n$ 时，称 $m\times n$ 矩阵 $\mathit{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵。

用大写字母来表示矩阵，如 $A$。

记 $M_{m,n}(\mathbb{F})=\{\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}\mid a_{ij}\in \mathbb{F}\}$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的所有 $m\times n$ 矩阵全体，$M_n(\mathbb{F})=M_{n,n}(\mathbb{F})$ 为数域 (\mathbb{F}) 上的所有 $n$ 阶方阵全体。(这个似乎用的不多？)

矩阵加法

就是对应位置相加，若 $C=A+B$，则 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。这里要求 $A,B$ 的大小一致。

矩阵乘法：

现有大小为 $m\ast n$ 的矩阵 $A$，$n\ast k$ 的矩阵 $B$，$C$。令 $C=A\times B$，其大小为 $m\ast k$，则

$$C_{i,j}=\sum _{k=1}^n{A}_{i,k}\times B_{k,j}$$

可以简记为 ： A横乘B竖。

卡常技巧： 一般来说，矩阵乘法的元素要求对某个数取模，我们可以用 long long（或者 int128）把一行之和求出来再取模，以减少取模次数。

矩阵乘法的性质

1. 结合律：$(AB)C=A(BC)$

   直接把两边用矩乘定义展开

   因为乘法运算对加法有分配律，所以 $\sum$ 可以提前并交换，于是两边都变成 $H_{i,j}\sum _{l=1}^s\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kl}{c}_{lj}$ 的形式。

2. 分配律：$A(B+C)=AB+AC,(B+C)D=BD+CD$

   $\because \sum a_{i,k}(b_{k,j}+c_{k,j})=\sum a_{i,k}{b}_{k,j}+\sum a_{i,k}{c}_{k,j}$

   $\therefore A(B+C)=AB+AC$ ，另一个同理。

3. 没有分配律！可以举例验证

4. 有乘法单位元

   即单位矩阵(虽然这玩意本质上是个方阵)。用 $I_n$ 表示大小为 $n$ 的单位矩阵。

   构造：对角线为 1，其它地方是 0。证明还是直接用定义展开

   性质：对于 $\mathrm{\forall }A\in M_{m,n},A=I_{m}A=A{I}_n$

5. 有消去律 $AB=AC⟺B=C$，当且仅当 $A\ne 0$ 且 $\mathrm{\exists }A{A}^{-1}=I$ （存在 A 的逆）

广义矩阵

普通矩阵乘法是“对应位置相乘再加起来”，记作 $(\times ,+)$。我们可以根据具体要求修改矩乘的定义。如果新定义的乘法也满足分配律，那么上述性质仍然成立。

例如：定义乘法 $C=A\times B$，使得 $C_{i,j}=min(A_{i,j}+B_{i,j})$。这种可以记作（min，+）。因为 $a+min(b,c)=min(a+b,a+c)$，所以（+，min）具有结合律，分配律，但没有交换律。

矩阵快速幂：

这是一个矩乘的应用，并且相当常用。

$A\ast A\ast A\ast A\ast B=A^k\ast B$

和普通快速幂求解方式一样
模板题

（注：这个算法的成立基于矩乘的结合律）

矩阵快速幂优化dp

把dp方程看成向量（或是1 * n的矩阵），尝试把转移方程当成矩阵。
例如：匪不垃圾式：$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$

$${(}_{1,0}^{1,1}){(}_{f_{n-2}}^{f_{n-1}})={(}_{f_{n-1}}^{f_n})$$

数据结构矩阵加速dp

这个也被称为动态dp

我们可以把一个dp的转移看成乘上一个矩阵。
用矩阵快速幂是建立在每一个转移矩阵是一样的，但dp方程的转移往往与输入有关。于是就有了这玩意。

dp的一般形式：
$d{p}_{\mathrm{初}\mathrm{值}}\ast A\ast B\ast C\dots \dots \ast Z=d{p}_{\mathrm{答}\mathrm{案}}$（大写字母表示矩阵）
于是我们可以用数据结构来优化。（具体来讲，在ds的每个节点下存一个矩阵，修改操作就是把原来的矩阵删了加上新的矩阵）

总结一下：该算法用于处理对转移方程有微小修改操作的dp
如果这些转移矩阵不会变，那这个做法就是脱裤子放屁。

邻接矩阵的乘法

对一个有向图 $G$，记其邻接矩阵为 $A$，则 $A^k$ 的 $(i,j)$ 元素为从 $i$ 出发，走 $k$ 步走到 $j$ 的路径数。

如果只考虑可达性，此时矩阵中只有 $0$ 和 $1$，乘法变成 & 操作，加法变成 | 操作。 使用 $bitset$ 可以将矩阵乘法优化到 $O(\frac{n^3}{\omega })$。

矩阵的逆

前置知识

设 $A\in M_n(\mathbb{F})$，若存在 $B\in M_n(\mathbb{F})$，满足 $AB=I_n=BA$，则称 $A$ 一个可逆矩阵，此时称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记作 $B=A^{-1}$。

可以证明，如果有 $AB=I_n$，则一定有 $BA=I_n$，于是上述定义中的条件可以改为 $AB=I_n$（或 $BA=I_n$）

性质

• 若 $A$ 可逆，则 $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$
• 若 $A,B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $AB$ 可逆，且 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。一般地，$A_1,\cdots ,A_s$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A_1{A}_2\cdots A_s$ 可逆，且 $(A_1{A}_2\cdots A_s{)}^{-1}=A_s^{-1}\cdots A_1^{-1}$
• 若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A^T$ 可逆，且 $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。
• $n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $\iff |A|\ne 0\iff \mathrm{rank}(A)=n$

求法

在方阵后面强行拼上一个对角矩阵，然后用初等变换将前面的矩阵消成对角矩阵（就是用的高斯消元），后面的矩阵就是矩阵的逆。

举个栗子：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& 0& 1& 0& 0\\ -1& 2& -1& 0& 1& 0\\ 0& -1& 2& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \frac{3}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}& 1& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}\end{array}\right]$$

$$\therefore A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& 1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}\end{array}\right]$$

矩阵/线性变换

现在想知道：

用 $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]\mathrm{和}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$张成的线性空间中的向量$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]$

在普通的空间（用$\hat{i}$和$\hat{j}$的线性空间 ）中的向量是什么。

方法如下：

1. 用两个基直接拼成一个矩阵（就是把中间两个碍事的中括号去掉）。在上面的例子中，该矩阵为：$\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$。（注意，这里将对应$\hat{i}$的基放在左边，对应$\hat{j}$的基放在右边）
2. 用这个矩阵乘上这个向量，就是：$\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]$。注意矩阵没有交换律，所以顺序不能改。

就行了。

如果要从普通的线性空间中的向量变到特定的空间中，就乘上该空间的两个基拼成的矩阵的逆。就行了。（可以用高斯消元来求矩阵的逆）

由上面的示例可以看出，矩阵可以被当成一种线性变换，其几何意义就是更换线性基后表示某个向量。