筛法（埃氏/欧拉/杜教/PN筛）

目录

• 筛法
  • • 概述
  • 埃氏筛
  • 欧式筛
  • 杜教筛
    • 正文
  • Powerful Number筛​
    • Powerful Number
  • Min_25筛
  • 洲阁筛

筛法

概述

一般的筛法可以筛出某个范围内的素数。

用恰当的筛法可以筛出具有某种性质的函数，或某种函数的前缀和。

埃氏筛

对于每一个素数 $p$，标记 $kp+p^2,k\ge 0$ 为合数。

正确性：假设 $(p,p^2)$ 内存在一个含有p这个因子的合数没被标记，那它一定可以被写为 $pxq，x\in z，q$ 是质数的形式。

因为 $pxq$ 小于 $p^2$，所以 $q\le p$，所以这个数会被 $q$ 标记，假设不成立。

所以可以每次遇到一个不是合数的数，就认为它是素数。

附上代码:

void ash_shai(int MAX){
	ll i = 2; for(; i * i <= MAX; ++i) if(!vis[i]){
		pri.push_back(i);
		for(ll j = i * i; j <= MAX; j += i) vis[j] = true;
	}
	for(; i <= MAX; ++i) if(!vis[i]) pri.push_back(i);
}

复杂度 $O(n\log (\log n))$ 并且常数很小，所以可以近似看作 $O(n)$。OI-wiki上好像给出了一些神秘优化方法，不过我没看懂。

这个算法一般用于只需要筛素数的题。

欧式筛

又称线性筛。因为是严格 $O(n)$ 的。

用这个算法主要是为了筛函数值。

对于合数，我们希望只用这个数的最小质因子把它筛掉。

我们对于每一个数$i$，枚举小于它并与其互质的质数 $p$，把由它俩乘积的这个合数打上标记。

正确性：我们认为这些合数是被 $p$ 标记的。如果 p,i 不互质，那么该合数的最小质因子是 $\frac{i}{p}$ ，或 $\frac{i}{p}$ 的因子。如果 p 是合数，那么 $ip$ 的最小质因子应该是 $p$ 的因子。因为 $p<i$，且 $i$ 没有小于 $p$ 的因子，所以 $p$ 就是 $ip$ 的最小质因子。

每次遇到一个不是合数的数，就认为它是素数。

不过更重要的是用欧拉筛去筛函数值。

可以被欧拉筛筛出来的函数必须满足以下性质：

对于 $k = 1, k \in prime, k \mid p $，$f(pk)$ 可以由 $f(p)$ 和 $f(k)$ 快速得到，并且知道 $f(1)$ 的值。

所以大部分的积性函数都可以用欧拉筛线性地筛出函数值。

例如 $\phi$ 和 $\mu$：

$\phi (1)=\mu (1)=1$

$\phi (p)=p-1,\mu (p)=1$

$\phi (pk)=\phi (p)\ast \phi (k),\mu (pk)=\mu (p)\ast \mu (k)$，$k$ 是质数

$\phi (pk)=k\phi (p),\mu (pk)=0，k\mid p$

$\phi (pk)=(k-1)\phi (p),\mu (pk)=-1\mu (p)，k\in prime$

代码：

void get_oula(int M){
	phi[1] = 1, mu[1] = 1;
	for(int i=2;i<=M;++i){
		if(!vis[i]) pri.push_back(i), phi[i] = i - 1, mu[i] = -1;//k=1
		for(int j : pri) {//k is prime
			if(i*j>M) break;
			vis[i*j] = 1;
			phi[i*j] = phi[i] * (j - 1);
			mu[i*j] = mu[i] * (-1);
			if(i % j == 0){//k | p
				phi[i*j] = phi[i] * j;
				mu[i*j] = 0;
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=M;++i){
		sp[i] = sp[i - 1] + phi[i];
		sm[i] = sm[i - 1] + mu[i];
	}
}

杜教筛

缺点：只能得到函数的部分函数值的前缀和。对要筛的函数有很多限制。

优点：1. 复杂度 $O(n^{\frac{2}{3}})$.2. 可以得到前缀和。

正文

对于数论函数 $f$，计算 $S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$。

需要找到一个合适的函数 $g$，来和 $f$ 进行卷积。

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(1)}& \sum _i^n(f\otimes g)(i)& =\sum \sum g(d)f(i/d)\text{(2)}& & =\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{n/d}f(i)\text{(3)}& & =\sum _{d=1}^{n}g(d)S(n/d)\text{(4)}& & =g(1)S(n)+\sum _{d=2}^{n}g(d)S(n/d)\end{array} \\ \therefore g(1)S(n)=\sum _i^n(f\otimes g)(i)-\sum _{d=2}^{n}g(d)S(n/d) \end{gathered}$$

如果 $g(1),\sum _i^n(f\otimes g)(i),\sum _{d=2}^{n}g(d)$ 这三个都是能快速求到的，那么这似乎就可以用整除分块来递归地做。

最后一个问题：这个是什么时间复杂度？

观察到：当$a,b>0$ 且 $b\in \text{Z}$ 时， $\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor$，所以无论怎么递归，S 会计算到的数只在集合 $\{\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \}$ 中，只有 $O(\sqrt{n})$ 个。用微积分的知识，可以得到时间复杂度是 $O(n^{\frac{3}{4}})$

不过我们还可以通过暴力预处理（欧拉筛）前面的 $\frac{2}{3}$，使时间复杂度降到 $O(n^{\frac{2}{3}})$.

最大的问题在与要有合适的 $g$。我们发现 常数函数 $1$ 对 $\phi$ 和 $\mu$ 就满足此性质。

把 $\mu$带到我们的式子里：

$$1(1)S(n)=\sum _{i=1}^nϵ(i)-\sum _{i=2}^{n}1(i)S\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$$

即：

$$S(n)=1-\sum _{i=2}^{n}1(i)S\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$$

$1(i)$ 的前缀和就是 $i$。杜教筛时间复杂度 $O(n^{\frac{2}{3}})$

对于 $\phi$ 带到我们的式子里：

$$1(1)S(n)=\sum _{i=1}^n\mathrm{id}(i)-\sum _{i=2}^{n}1(i)S\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$$

即：

$$S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum _{i=2}^{n}1(i)S\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$$

$1(i)$ 的前缀和就是 $i$。杜教筛时间复杂度 $O(n^{\frac{2}{3}})$

我们还发现 $\mu ·i{d}_k$ 和 $\phi ·i{d}_k$ 可以找到 $i{d}_k$ 作为它们的函数 $g$。（注：这里的点乘表示的是对应位置相乘，即 ：$(f·g)(n)=f(n)g(n)$）

Powerful Number筛​

这玩意相比杜教筛，优点是对 $g$ 的限制更少，可以处理更积性的 $f$，缺点是写起来更史。

Powerful Number

定义：对于正整数 $n$，记 $n$ 的质因数分解为 $n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{e_i}$。$n$ 是 Powerful Number（简称 PN） 当且仅当 $\mathrm{\forall }1\le i\le m,e_i>1$。

PN 有如下性质：

• 所有 PN 都可以表示成 $a^2{b}^3$ 的形式。
  证明：若 $e_i$ 是偶数，则将
  $p_i^{e_i}$ 合并进 $a^2$ 里；若 $e_i$ 为奇数，则先将 $p_i^3$ 合并进 $b^3$ 里，再将 $p_i^{e_i-3}$ 合并进 $a^2$ 里。

• $n$ 以内的 PN 有 $O(\sqrt{n})$ 个。

证明：考虑枚举 $a$，再考虑满足条件的 $b$ 的个数，有 PN 的个数约等于

$${\int }_1^{\sqrt{n}}\sqrt[3]{\frac{n}{x^2}}\mathrm{d}x=O(\sqrt{n})$$

那么如何求出 $n$ 以内所有的 PN 呢？线性筛找出 $\sqrt{n}$ 内的所有素数，再 DFS 搜索各素数的指数即可。由于 $n$ 以内的 PN 至多有 $O(\sqrt{n})$ 个，所以至多搜索 $O(\sqrt{n})$ 次。

Powerful Number筛要求存在一个函数 $g$ 满足：

• $g$ 是积性函数。

• $g$ 易求前缀和。

• 对于质数 $p$，$g(p)=f(p)$。

假设现在要求积性函数 $f$ 的前缀和.

首先，构造出一个易求前缀和的积性函数 $g$，且满足对于素数 $p$，$g(p)=f(p)$。记 $G(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)$。

然后，设函数 $h$ 满足 $f=g\otimes h$，根据狄利克雷卷积的性质可以得知 $h$ 也为积性函数，因此 $h(1)=1$。

对于素数 $p$，$f(p)=g(1)h(p)+g(p)h(1)=h(p)+g(p)⟹h(p)=0$。根据 $h(p)=0$ 和 $h$ 是积性函数可以推出对于非 PN 的数 $n$ 有 $h(n)=0$，即 $h$ 仅在 PN 处取有效值。这是保证 PN 筛时间复杂度的基本原理。

现在，根据 $f=g\ast h$ 有：

$$\begin{array}{rl}F(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)& =\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}h(d)g\left(\frac{i}{d}\right)\\ & =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }h(d)g(i)\\ & =\sum _{d=1}^{n}h(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }g(i)\\ & =\sum _{d=1}^{n}h(d)G\left(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \right)\\ & =\sum _{\begin{array}{c}d=1\\ d\text{ is PN}\end{array}}^{n}h(d)G\left(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \right)\end{array}$$

$O(\sqrt{n})$ 找出所有 PN，计算出所有 $h$ 的有效值。对于 $h$ 有效值的计算，只需要计算出所有 $h(p^c)$ 处的值，就可以根据 $h$ 为积性函数推出 $h$ 的所有有效值。

现在对于每一个有效值 $d$，计算
$h(d)G\left(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{d}}\rfloor \right)$ 并累加即可得到 $F(n)$。

下面考虑计算 $h(p^c)$，一共有两种方法：

• 直接推出 $h(p^c)$ 仅与 $p,c$ 有关的计算公式，再根据公式计算 $h(p^c)$
• 根据 $f=g\ast h$ 有 $f(p^c)=\sum _{i=0}^{c}g(p^i)h(p^{c-i})$，移项可得 $h(p^c)=f(p^c)-\sum _{i=1}^{c}g(p^i)h(p^{c-i})$，现在就可以枚举素数 $p$ 再枚举指数 $c$ 求解出所有 $h(p^c)$。

复杂度 $O(\sqrt{n}\log n)$，而且这个上界比较宽松。

可惜的是，我们没有 PN 筛的模板题。不过 Min_25 筛的模板题可以用 PN 筛来做。

Min_25筛

咕咕咕

洲阁筛

咕咕咕