莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

积性定义： $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ ($a,b$互质时)

具有积性的函数叫积性函数。

如果 a,b 不互质时仍然是积性，那就是完全积性函数。

常见积性函数

• 单位函数：$\epsilon (n)=[n=1]$（完全积性）
• 恒等函数：${\mathrm{id}}_k(n)=n^k$（完全积性），当 $k=1$ 时，简记为 $id(n)=n$
• 常数函数：$1(n)=1$（完全积性）
• 除数函数：${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n}{d}^k$，${\sigma }_0(n)$ 即因数个数，简记为 $\mathrm{d}(n)$；${\sigma }_1(n)$ 即因数之和，简记为 $\sigma (n)$
• 欧拉函数：$\phi (n)=\sum _{d=1}^n[gcd(d,n)=1]$
• 莫比乌斯函数：$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}1& (x=1)\\ (-1{)}^k& (\text{x没有平方数因子，且x的质因子个数为k})\\ 0& (\text{x有平方数因子})\end{array}$

（注：莫比乌斯函数的定义是为了满足下文的某些奇妙性质。）

这些积性函数都可以用线性欧拉筛 $O(n)$ 地筛出。

可以证明，积性函数在 $1$ 处的取值为 $1$

Dirchlet 卷积

定义 $\otimes$ ：

$$(f\otimes g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

奇妙性质

• $\phi \otimes 1=id$
• $\mu \otimes 1=\epsilon$
• $\mu \otimes \mathrm{id}=\phi$
• $1\otimes 1=\mathrm{d}$
• $id\otimes 1=\sigma$
• $i{d}_k\otimes 1={\sigma }_k$

前两个换一种写法就是：$\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$, $\sum _{d\mid n}\mu (d)=[n=1]$。证明比较骚。

第三个相当于第一个式子两边 $\otimes$ 上 $\mu$，又因为显然有 $\phi \otimes \epsilon =\phi$，化简出来就是第三个式子。

最后三个用定义可得到，比较好理解。

$\small{个人感觉 $\epsilon$ 相当于函数中的单位元，$\mu$ 相当于 $1$ 的逆元}$

莫比乌斯反演

$$g(n)=\sum _{i|n}f(i)⟺f(n)=\sum _{i|n}\mu \left(\frac{n}{i}\right)g(i)$$

不过这玩意一般不用。

题目与套路

莫反的套路比较死。基本上看到有 $gcd,lcm，[k=1]$ 之类的玩意就可以无脑套上莫反。

【例题】 求：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\text{lcm}(i,j)$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\text{lcm}(i,j)& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\text{gcd}(i,j)\frac{i}{g}\frac{j}{g}\text{(2)}& & =\sum _d^{n}d\sum _i^{n/d}\sum _j^{m/d}ij[gcd(i,j)=1]\text{先枚举gcd，并要求i，j互质，表示的是gcd多少倍}\text{(3)}& & =\sum _d^{n}d\sum _i^{n/d}\sum _j^{m/d}ij\sum _{k|gcd(i,j)}\mu (k)\text{奇妙的性质第二条}\text{(4)}& & =\sum _d^n\sum _k^{kd\le min(n,m)}\mu (k)d{k}^2\sum _i^{n/kd}i\sum _j^{m/kd}j\text{类比第二步}\end{array}$$

令 $S(n)=\sum _i^{n}i=(n+1)\ast n/2,T=kd$，那么上式等于：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& & =\sum _d^n\sum _k^{min(n,m)/d}\mu (k)d{k}^{2}S(n/kd)S(n/kd)\text{(6)}& & =\sum _T^n\sum _{k|T}\mu (k)TkS(n/T)S(n/T)\text{(7)}& & =\sum _T^{n}S(n/T)S(n/T)T\sum _{k|T}\mu (k)k\end{array}$$

后面是积性函数，用线性筛 $O(n)$，前面整除分块。

积性证明：

设 $f(pq)=\sum _{xy|pq}\mu (xy)xy$ （p，q互质）

$f(p)=\sum _{x|p}\mu (x)y,f(q)=\sum _{y|q}\mu (y)y$

因为 p，q互质，所以 x，y 整除 p,q 中的其中一个。

钦定 x | p, y | q（注意，如果 $xy\mid p$ 则，等价于把 $xy$ 看成新的 $x$， 把 $1$ 看作 $y$， 这种情况会在之前统计过）

$f(pq)=\sum _{xy|pq}\mu (xy)xy=\sum _{x|p}\mu (x)x\sum _{y|p}\mu (y)y=f(p)f(q)$

对于 $f(j^{2}p)=f(jp)+\sum \mu (j^{2}x)j^{2}x=f(jp)$，其中 $p$ 是质数。

$f(p)=\mu (1)1+\mu (p)p$，其中 $p$ 是质数。

$f(1)=\mu (1)1=1$。