欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数

定义

$\phi (p)$ 为小于 $p$ 且与 $p$ 互质的数的个数。

性质

1. 积性
   积性定义： $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ ($a,b$互质时)

   具有积性的函数叫积性函数。

   如果 a,b 不互质时仍然是积性，那就是完全积性函数。

   欧拉函数积性的证明：
   令 $n=\prod p_i^{c_i}$
   则 $\phi (n)$ = $n\ast \prod (1-\frac{1}{p_i})$ 其中 $\prod$ 中每一项表示因数$p_i$不出现的频率
   "ab = n并且a,b互质" 可以转化成 "把一部分因数 $p_i^{c_i}$ 分给a,另一部分分给b." 所以等式成立，证毕。

2. 若 $p$ 为质数，$\phi (p)=p-1$。

3. 对于 $n>2$，$\phi (n)$ 是偶数。

4. $\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$，或写为 $(\phi \otimes 1)(n)=n$，这里的 $\otimes$ 表示范德蒙卷积，这个式子在莫反中相当有用。

求欧拉函数的方法

1. 因为是积性的，所以可以用线性筛。$O(n)$
2. $\phi (n)$ = $n * \prod \frac{p_i-1}{p_i} $，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{分}\mathrm{解}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{数}。$O(\sqrt n)$
3. 用杜教筛，但筛出来的是前缀和。$O(n^{\frac{2}{3}})$

欧拉定理

若 $gcd(a,p)=1$，则 $a^c\equiv a^{cmod\phi (p)}(\mathrm{mod}p)$

$p$ 是质数的时候等价于费马小定理。

证明：

$a^{\phi (p)}$
令比 $p$ 小且与 $p$ 互质的集合为 $\{x_1,x_2\dots \dots x_{\phi (p)}\}$

因为 $a,p$ 互质，所以集合 $\{a{x}_1,a{x}_2,\dots \dots a{x}_{\phi (P)}\}$ 中的数仍然与 $p$ 互质，且对 $p$ 取模后互不相同。

（对前面结论的证明）因为 $a$ 和 $x$ 中都无 $p$ 的因子，所以与 $p$ 互质。如果两数相同，则 $a(x_i-x_j)\equiv 0$，a 没有 p 的因子，后面一项比 p 小，所以同余式不成立，所以得出对 $p$ 取模后互不相同。

所以两边集合在排序后完全等价。

两边集合乘起来：

$$\begin{gathered} \prod a{x}_i\equiv \prod x_i(modp) \\ {a}^{\phi (p)}\prod x_i\equiv \prod x_i(modp) \\ 0\equiv \Pi x\ast （a^{fine(p)}-1） \end{gathered}$$

∵$\prod x$ 与 $p$ 互质，∴809057$a^{\phi (p)}-1$是p的倍数

∴$a^{fine(p)}\equiv 1（modp)$

$\therefore a^c\equiv a^{cmod\phi (p)}(\mathrm{mod}p)$

拓展欧拉定理（ $a$ 和 $p$ 不用互质）

$$a^c\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{cmod\phi (p)}& gcd(a,m)=1\\ a^c& gcd(a,m)\ne 1\wedge c<\phi (p)\\ a^{cmod\phi (p)+\phi (p)}& gcd(a,m)\ne 1\wedge c\ge \phi (p)\end{array}(\mathrm{mod}p)$$

感性证明：对于 $a^{c}modm$ 的值只在 $[0,m)$ 中，而且 $a^c\equiv a^{c-1}a$，那么对于任意一个数 ($a^{c-1}$) ，那么很容易就能知道它的 后继 ($a^c$)，在有限的空间内这一定会形成一个循环。可以证明，这个环的长度是 $\phi (p)$ 的因子。形式化的证明点这里

这可能是一个混循环（环的后面跟一个尾巴的形式），所以先走 $\phi (p)$ 步进入环，再把剩余的步数对环的长度的倍数 $\phi (p)$ 取模。写出来就是 $a^c\equiv a^{cmod\phi (p)+\phi (p)}$

注意：当 $c<\phi (p)$ 时，这个余数可能还没有进入环，所以只能暴力地去跑快速幂。（也就是公式的第二行）