牛顿级数
牛顿级数
把普通多项式转组合数形式的多项式,这种组合形式的多项式就叫牛顿级数。有一个用途是转化高位差分。
已知多项式
因为
写成组合数的形式
先给结论:
以下是证明:
先定义差分因子
再定义高维差分:
运算律
这些运算律可以类比求导的运算律:
组合数的差分
由组合数的递推公式可以推出:
同理可推出:
可以感觉到,组合数和差分很配。
重要结论的证明
回到原命题,对于
因为 :
取
所以:
(咋感觉最后一个有点像泰勒展开?)
把牛顿级数转普通多项式形式:
上面这个不知到有没有用。
特殊地,
重要恒等式
根据高维差分定义,这很好感性理解
证明:为了方便表示,我们设平移因子
根据二项式定理:
推论
对于
和上文的恒等式联立一下,得到:
牛顿插值法
目的和拉插一致。
具体来说,已知 n 阶多项式 P(x) 在前 n + 1 个点处的值 P(0),P(1),· · ·,P(n),求P(x) 的值,要求 O(n)。
预处理一下阶乘之类的即可。
应用
牛顿级数这玩意虽然看上去没上面用,但实际上也没什么用。不过为了证明这玩意还是有一点用的,我们给几个例题:
求下面式子的封闭形式:
先用
设
观察到,
实际上也可以设
设
其中
对于
整理一下容易得到,答案为
再丢一个例题:更简单的排列计数
反正我也不会做
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