错排

错排

定义错排d(x)为：长度为x的排列，并且对于任意i，第i位的数不是i的排列方案数。

求法1：无脑容斥。

至少有k个位置对应的数与下标相同的方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-k)!$

d(x)相当于k=0的情况减k=1加上k=2...来容斥的结果。形式化表达为：

$$\begin{gathered} d(n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-k)! \\ =n!\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{1}{k!}(\mathrm{用}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{展}\mathrm{开}\mathrm{组}\mathrm{合}\mathrm{数}，\mathrm{将}n！\mathrm{移}\mathrm{出}\mathrm{来}) \end{gathered}$$

求法2：递推

另一种做法是考虑递推，考虑 $n$ 所在的环的大小：

• 大小为 2，那么剩下的所有是一个 $n-2$ 的错排，方案数为 $(n-1)d_{n-2}$
• 大小 $>2$，那么插入 $n$ 之前就已经是一个错排了，枚举插入位置，方案数为 $(n-1)d_{n-1}$

$$\therefore d_n=(n-1)(d_{n-1}+d_{n-2})$$

初值：$d_1=0,d_2=1$

例题

[SDOI2016] 排列计数

求有多少种 1 ∼ n 的排列 a，满足恰有 m 个位置 i 使得 $a_i=i$。答案对 1e9 + 7 取模。

1 ≤ T ≤ 5 × 1e5，1 ≤ n ≤ 1e6，0 ≤ m ≤ 1e6。

从n中任意钦定m个位置：$\binom{n}{m}

剩下位置错排：$d_{n-m}$

所以答案为$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})d_{n-m}$

$O(n)$预处理阶乘逆元和错排后$O(1)$求

最后特判n=m时，答案为1