自然对数 e

简介

自然对数的底数 e 是一个数学常数,其值约为 2.71828。e 有多种等价的定义,下面是一些常见的定义:

定义一:作为无穷级数的和

e=n=01n!=1+1+12!+13!+14!+

定义二:作为极限

e=limn(1+1n)n=limn0(n+1)1n

定义三:作为微积分中的唯一值(导数等于自身)

e 是唯一一个底数 a ,使得函数 f(x)=ax 的导数等于其自身的值。即:

ddxex=ex

也可以写为:

(ex)=ex

定义四:作为自然对数的底数

e 是自然对数函数 ln(x) 的底数,即:

ln(e)=1

定义五:在复数中的定义(欧拉公式)

在复数分析中,e 可以通过欧拉公式定义:

eix=cos(x)+isin(x)

x=π 时,我们得到欧拉恒等式:

eiπ+1=0

定义5的证明:
已知 i2=1
已知(通过泰勒展开)

sinx=11!x+13!x3+15!x5+17!x7+

cosx=10!x0+12!x2+14!x4+16!x6+

(1)(eix)=ieix(2)(eix)(2)=i2eix=eix(3)(eix)(3)=i3eix=ieix(4)(eix)(4)=i4eix=eix

当x = 0时:

(5)eix=1(6)ieix=i(7)eix=1(8)ieix=i

在0处将eix泰勒展开:

eix=10!x0+i1!x+12!x2+i3!x3+14!x4+i5!x5+16!x6+i7!x7+=cosx+isinx

点击详见:泰勒展开

总结

这些定义都描述了 e 的不同方面,但它们都是等价的。e 在数学中扮演着重要的角色,特别是在微积分、复数分析和概率论中。

posted @   花子の水晶植轮daisuki  阅读(26)  评论(2编辑  收藏  举报
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