洛必达法则

洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是用于计算某些不定型极限的一种方法，特别是当极限形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 时。洛必达法则指出，如果两个函数的比值的极限是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 的形式，那么这个比值的极限等于它们的导数的比值的极限，前提是导数的比值的极限存在。

洛必达法则的陈述

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是在点 $a$ 附近可导的函数，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$ 在 $a$ 的某个邻域内（除了可能在 $a$ 点本身）。如果：

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=0\text{和}\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$$

或者：

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }\text{和}\underset{x\to a}{lim}g(x)=\pm \mathrm{\infty }$$

那么：

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

如果右边的极限存在（或为 $\pm \mathrm{\infty }$）。

应用洛必达法则的例子

考虑极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}$。当 $x\to 0$ 时，分子 $e^x-1$ 和分母 $x$ 都趋近于 0，所以这是一个 $\frac{0}{0}$ 的不定型。我们可以应用洛必达法则：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{d}{dx}(e^x-1)}{\frac{d}{dx}(x)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x}{1}=e^0=1$$

因此，极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$。

注意事项

• 洛必达法则只能应用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 的不定型。
• 应用洛必达法则之前，需要检查是否满足法则的条件。
• 洛必达法则可能需要多次应用，直到得到一个确定的极限。
• 洛必达法则并不总是最简单的方法，有时使用其他方法（如泰勒级数展开）可能更直接。