三种求逆元方法小结
逆元(自学内容)
定义:若
当a与f互素时,a关于模f的乘法逆元有解。
如果不互素,通过公式‘a/b mod p = (a mod (b·p))/b’来转化
计算逆元方式:(条件a,p互质)
- 费马小定理( a
≡1(mod p))(a,p互质时,
变形为a * a ≡1(mod p)
因为逆元x定义为a*x≡1(mod p),
所以x=a (mod p)(可用快速幂求)
证明费马小定理:数学归纳法
证明2:
{x1,x2,x3……
两边集合乘起来:
∵Πx 与 p互质,∴
∴
-
拓展欧几里得算法(exgcd)
用于求解模数p不是质数时的逆元。
可变形为
然后就可以用exgcd来求了。复杂度 -
阶乘逆元
线性递推求阶乘:
用费马小定理求 的逆元
那么
于是就可以递推求阶乘逆元,
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