Math
数论
模运算
a%b = a - [a/b] * b;
(b > 0)
“=”表示同余
a = b, a = c => b = c;
a = b => a+c = b+c;
a = b && c = d => a + c = b + d;
最大公因数gcd
return !b ? a : gcd(b, a%b);
exgcd(用于解不定方程和求非质数意义下的逆元）:
方程：ax + by = c (a,b,c均为整数，求x，y的整数解）
核心思路：在求gcd的末状态求出\(x_末，y_末\)，又因为有个天才脑洞大开发现可以顺着gcd递归回去，于是可以求出一组x，y的特解，再找通解的表达。
具体做法：
当c 不是 gcd（a,b) 的倍数，时无x，y整数解
否则：ax + by = k * gcd，可先求出x/k，y/k
gcd末状态：
a = gcd， b = 0。此时\(x_末 = 1, y_末随机取\)
gcd的转移方法是:ax + by = gcd = bx' + (a - \({\lfloor a / b \rfloor}\) * b)*y';(gcd的递归转移)
整理一下：x = x' + \({\lfloor a / b \rfloor}\) * y', y = x'/
递归回去可得一组x/k，y/k的整数解， 再乘上k就是一组x，y的特解/
接下来就是求通解：
先令有解{x1,y1}{x2,y2}
\(ax_1 + by_1 = c\)
\(ax_2 + by_2 = c\)
\(∴a(x_1 - x_2) = b(y_2 - y_1)\)
\(两边同除gcd(a,b)，得a'(x_1 - x_2) = b'(y_2 - y_1)，此时a'与b'互质\)
\(∴(x_1 - x_2) = k * b', (y_2 - y_1) = k * a'\)
\(整理一下：x_1 = k * b' + x_2，y_1 = y_2 - k * a'（k为任意,
x_2,y_2为特解，x_1,y_1为通解)\)
代码：
void exgcd(long long a, long long b){
if(b == 0) {
x = 1;
y = 0;
gcd = a;
return ;
}
exgcd(b, a % b);
tmp = x, x = y, y = tmp - (a/b) * y;
}
用exgcd求逆元：ax = 1 (mod p) => ax = 1 + pk => ax - pk = 1，然后就可以开始解不定方程了。
中国剩余定理：
条件：(所有p为质）
题目：
x = y1(mod p1)
x = y2(mod p2)
…………
x = yn(mod pn)
令 M = Πp，\(m_i\) = M / \(p_i\)
x = $\sum_{i=1}^n y_i m_i * m_i^{-1} $ + KM(K是任意数，x有无数个）
逆元用exgcd求
Miller_Rabin 判断素数
if（\(a^{p-1} = 1(mod p)\)) p大概率为质数
∵\(x^2\) = 1 (mod p) => x = -1 或 1
当指数b为奇数或者a^b = -1时可以默认p为质数
否则一直循环
把前12个质数做为底数a来试验可判断264以内的质数\
(注意：第一次要特判，只有ab==1时成立)
Pollard Rho 分解最大质因数算法
Pollard Rho算法分解一个数n的过程大体上是这样子的：\
1、找到一个数p，使得p|n，将n分解为p与n/p
2、如果p或n/p不为质数，将其带入递归上述过程
3、如果其是质数，将其记录并退出\
找p的过程是这个样子：\
1、找到一个数p1
2、通过某种玄学推导手段找出一个与p1对应的p2
3、gcd(|p1-p2|,n)不是1或n时，此数为所求的p\
玄学推导手段：\
p2 = (\(p1^2\) + c) mod n
其中c为随机常数。
出现循环了怎么办？换一个随机常数c再搞。\
积性函数
f(ab) = f(a)f(b) (如果只有a,b互质时才成立，狭义积性函数）
例如\(\varphi\)函数
拉格朗日插值
拉插作用
已知n+1个点值，即
求n次多项式 f ，(或求f(x)的值）\
设 \(L_i(x)\) 是一个 \(n\) 次多项式，且满足
$ \begin{cases}
L_i(x_i)=y_i\
L_i(x_j)=0\ \ \ (i\not=j)
\end{cases}$
可以考虑先构造 \(L_i'(x)\)，使其满足
$ \begin{cases}
L_i(x_i)=1\
L_i(x_j)=0\ \ \ (i\not=j)
\end{cases} \(
那么
\)L_i=y_iL_i'$
可以得出 \(L_i'(x)\) 可以是下面的多项式：
\(\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}\)
(如果把\(x_j(i \neq j)\)带进去，分母出现0， 如果把\(x_i\)带进去，分子等于分母，即\(L_i'(x_i) = 1\))
那么 \(L_i(x)\) 就应该是\(y_iL_i'\):
\(yi\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}\)
因为 \(L=\sum\limits^{n+1}_{i=1}{L_i}\)，所以 \(L(x)\) 应该为：
\(\sum\limits^{n+1}_{i=1}{(y_i{\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}})}\)
复杂度：\(O(n^2)\)
特别的，如果 \(x_i + 1 = x_{i+1}\), 求\(L(x)\)的值时
\(L_i'(x)\) 分母可表示为
分子可以表示为 (???)
再带回即可
复杂度：O（n）
