网络流学习笔记

网络流（可看算法进阶）

感性的define ： 一张DAG，有一个源点s，一个汇点t，其它每条边有一个容量c
从点u到点v的流量：不能让经过的点的流量超出该点的容量
增广路：还能继续流流量的路，也就是有一条路径，路径上的容量都不小于0
最大流：s到t的最大流量
求最大流算法的核心思路：不停地找增广路，流量加上该增广路上的最小容量，再更新增广路上的容量（路径上每个点都减去路径流量），直到没有增广路。
但但但是，上面的思路还有一个问题，就是该方法不能保证答案正确性，可能走了一条增广路后导致其它路径走不了，有可能不优。于是每条边e要加一条反边e'，使得e和e'的容量之和为该边最开始的容量c。每次走边e时，流了x的流量，那么 \(e_c - x, e’_c + x\)。这样走反边相当于反悔操作，从而保证正确性（这句话可能有点抽象，建议画图）
接下来介绍几种求最大流的算法

1. EK算法 复杂度 O（\(nm^2\)）
   思路：每次bfs找增广路来更新
2. dinic算法 复杂度O（\(n^2m\))
   思路：先bfs给图分层（标记深度）,然后不停地dfs找增广路，但每次只走的dep[v] = dep[u] + 1的边，在该定义下的dfs找不到增广路后再重新bfs给图分层，直到图不连通（没有增广路了）。
   优化：dfs走过的点不再走（当前弧优化），不走到汇点t没有流量的点（将dep[该点]赋值成0）
3. hlpp 复杂度 O（\(n^2\sqrt{m}\))
   思路：我不会

补充：最大流算法复杂度很玄学，有时会跑地异常的快

最小割
定义：割掉一些边，使得s到t不连通，最小割就是割掉的这些边的容量c之和最小的割法
定理：最小割和最大流的值相等
感性证明：把最大流增广路中容量最小的点割一刀就是最小割（大概吧）
求最小割可以就用最大流的算法，反正值一样

费用流
定义：现在每条边不仅有容量c，还有花费w。要求走最大流的同时保证路径上的总花费（\(\sum_{每条走过的路径}\)路径的总费用w * 路径的流量f）最小
做法：将反边费用设为-w，找增广路时用spfa（这里用spfa是为了不走负环）。以EK为例，把bfs改成spfa，dinic应该也差不多。