左偏树

左偏树

例题

用处：一种支持$nlogn$的合并的二叉堆。

“ 对于一棵二叉树，我们定义 外节点 为左儿子或右儿子为空的节点，定义一个外节点的 $dist$ 为1 ，一个不是外节点的节点 $dist$ 为其到子树中最近的外节点的距离加一。空节点的 $dist$ 为0。”

左偏树的定义 :
每个结点的左儿子 $dist$ 都不小于它右儿子的 $dist$。
那我们这样定义的左偏树有什么性质呢？
$dis{t}_p=dis{t}_r+1$
其中 $p$ 为根，$r$ 为右儿子。

合并操作 (merge)
这个操作可谓是所有可并堆的灵魂所在了。

1. 把根结点权值小的堆（根为 x）作为基础，它的所有左儿子不做出改变，而把另一个堆（根为 y）和 $x$ 的右儿子继续递归合并。
2. 递归到 $x,y$ 中的一个为空结点时结束，返回不为空的结点编号
3. 更新 $dist$ 值,且把不满足左偏性质的左右儿子互换。

具体代码如下：

int merge(int x,int y){
    if(!x | !y) return x | y;
    if(val(x) > val(y)) swap(x, y);
    r(x) = merge(r(x), y);
    if(dst(l(x)) < dst(r(x))) swap(l(x), r(x));
    dst(x) = dst(r(x)) + 1;
    return x;
}