Johnson多源负权最短路

Johnson多源负权最短路

Floyd算法复杂度是 \(O(n^3)\)，然而dij的复杂度只是 \(O(mlogm)\)。
所以对于稀疏图来说，对每个点跑dij就已经比Floyd快了。
但是dij有一个缺陷：它不能处理有负权的图，于是Johnson算法应孕而生。（我认为是这样的）

Johnson算法流程：

1. 我们设一个虚拟节点为 \(0\) ,从这个点向其他所有点连一条边权为\(0\)的边。
2. 求出从 \(0\) 到其它点的最短路为 \(h[i]\)。
3. 对于每条边边权设为 \(w+h[u]-h[v]\) 。
4. 最后再对每个点跑dij，不过 \(x\) 到点 \(y\) 的距离为 \((dis_{i->j}-h_i+h_j)\)

因为先用spfa跑了最短路，所以 \(w+h[u] >= h[v]\) 一定成立。

再考虑正确性：现有一条路径：a->b->c
计算得答案为 disa->b + h[a] - h[b] + disb->c + h[b] - h[c] == disa->b + disb->c + h[a] - h[c]
容易发现路径上的h值都抵消掉了，只剩下了头和尾，而头和尾的h值是确定的，所以原来的最短路和处理后的最短路是同一条（至少处理后值一样）。