Catalan数的直观理解

模型：n个0和n个1组成一个2n位的2进制数，要求从左到右扫描时，1的累计数始终都小于等于0的累计数，求满足条件的数有多少？
证明：在2n位上填入n个0的方案数为\(C_{2n}^{n}\)。而从\(C_{2n}^{n}\)中减去不符合要求的方案数即为所求答案。在从左往右扫时，必然会在某一个奇数位\(2p+1\)上首先出现\(p+1\)个1，和\(p\)个0,此后的\([2p+2,2n]\)上的\(2n−(2p+1)\)位有\(n−p\)个0, \(n−p−1\)个1。如若把后面这部分\(2n−(2p+1)\)位的1与0互换，使之成为\(n−p\)个1，\(n−p−1\)个0，结果得1个由\(n+1\)个1和\(n−1\)个0组成的\(2n\)位数，即一个不合法的方案必定对应着一个由\(n+1\)个1和\(n-1\)个0组成的一个排列。不符合要求的方案数为\(C_{2n}^{n+1}\)。

\[Catalan(n) = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n+1} \]