弗洛伊德floyd算法总结

总结分析

1. 是一个简单的dp
2. 像迪杰斯特拉算法，不断对两个结点之间的距离进行松弛
   • 松弛：比如原本记录结点1到结点4的距离为6，这次k是结点2，结点1到结点2距离为2，结点2到结点4的距离为3，总距离为5，即可更新结点1到结点4的距离
3. 还不是很懂dp，所以不太会解释
4. 结点k是结点i和j之间的中转站

注意

• 时间复杂度O(n³)
• 多源最短路径，其实可以对每个结点使用一次dijstra算法，也是(n³)，只是使用floyd算法代码长度短很多且易于理解
• 可以解决负权图，不能解决负环图
• 为什么d[i][k]是最小的：因为假设有k1<k，我们会有d[i][k]=min(d[i][k],d[i][k1]+d[k1][k])，轮到d[i][k]就说明之前已经确定它是最小的了

题目

求每一个顶点之间的最短路径

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define n 7
#define inf 233
vector<vector<int>> G(n, vector<int>(n, inf));
void floyd() {
	for (int k = 0; k < n; k++) {
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				G[i][j] = min(G[i][j], G[i][k] + G[k][j]);
			}
		}
	}
}

int main() {
	G[0][2] = 2;
	G[0][1] = 5;
	G[1][3] = 1;
	G[1][4] = 6;
	G[1][0] = 5;
	G[2][3] = 6;
	G[2][5] = 8;
	G[2][0] = 2;
	G[3][2] = 6;
	G[3][1] = 1;
	G[3][4] = 1;
	G[3][5] = 2;
	G[4][1] = 6;
	G[4][3] = 1;
	G[4][6] = 7;
	G[5][2] = 8;
	G[5][3] = 2;
	G[5][6] = 3;
	G[6][4] = 7;
	G[6][5] = 3;
        //对角线为0
	for (int i = 0; i < n; i++) G[i][i] = 0;

	for (auto a : G) {
		for (auto b : a) {
                        //如果是inf233，改为输出-1
			if (b == 233) cout << setw(2) << -1 << " ";
			else cout << setw(2) << b << " ";
		}
		cout << endl;
	}

	floyd();

	cout << endl << "完成floyd算法后" << endl;

	for (auto a : G) {
		for (auto b : a) {
			cout << setw(2) << b << " ";
		}
		cout << endl;
	}

	return 0;
}

结果