具体数学学习笔记
第二章
切比雪夫单调不等式
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_ib_j \le n\sum_{i=1}^n a_ib_i\ ,\ a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \text{且} b_1 \le b_2 \le \cdots \le b_n
\]
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_ib_j \ge n\sum_{i=1}^n a_ib_i\ ,\ a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \text{且} b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n
\]
一般的,若有 \(a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n\) , \(p\) 是 \(1-n\) 的一个排列,当 \(b_{p_1} \le b_{p_2} \le \cdots \le b_{p_n}\) 时, \(\sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{p_i}\) 有最小值,
当 \(b_{p_1} \ge b_{p_2} \ge \cdots \ge b_{p_n}\) 时, \(\sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{p_i}\) 有最大值
证明:
通过构造矩阵
\[\left[
\begin{matrix}
a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots &a_1b_n \\
a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots &a_2b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots &a_nb_n
\end{matrix}
\right]
\]
并对主对角线上方、下方的三角形求和可得
调和数求和
有结论:
\[\sum_{0\le i <n} H_i = n H_n -n
\]
下降幂
\[x^{\underline n} =\prod_{0\le i <n} x-i \ ,\ x>0
\]
\[x^{\underline {-n}} =\prod_{0\le i <n} \frac{1}{x+i} \ ,\ x>0
\]
其指数可以加减 :\(x^{\underline {n+m}}=x^{\underline n}\cdot (x-n)^{\underline m}\)
其差分也成立 : \(\Delta x^{\underline n}=n\cdot x^{\underline {n-1}}\)
练习题
- 求证:\(\sum\limits_{0\le k<n} (a_{k+1}-a_k)b_k=a_nb_n-a_0b_0-\sum\limits_{0\le k<n}a_{k+1}(b_{k+1}-b_k)\)
直接拆开即可证明 - 求证:只要 \(c\) 是一个整数,函数 \(p(k)=(-1)^k c+k\) 是所有整数的一个排列
\(\forall x\ne y\ , \ p(x)=(-1)^x c+x\ ,\ p(y)=(-1)^y c+y\)
若$x\equiv y(\mod 2\ ) $ 显然 \(p(x) \ne p(y)\)
否则,不妨设 \(x\) 为偶数, \(y\) 为奇数,\(p(x)-p(y)=2c+x-y \ne 0\)
所以 \(\forall x\ne y\ , p(x) \ne p(y)\), $p \text{为 Z}\rightarrow\text{Z} $ 的一一映射,所以得证
(不知道这样做是否正确) - 求 \(S=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^kk^2\) 的封闭形式
对 \(n\) 的奇偶分别考虑,得 \(S=(-1)^n\cdot \frac{n(n+1)}{2}\)