Manacher算法
Manacher算法-又叫马拉车算法
概要:
Manacher算法主要用于求最长回文串,在求最长回文串的时候做了处理使长度均变成了奇数
处理方式:s[0]='$',从s[1]开始两边都有其他符号
然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度(包括S[i],也就是把该回文串“对折”以后的长度),比如S和P的对应关系:
字符串12212321为例,经过上一步,变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 # P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1 (p.s. 可以看出,P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度)
那么怎么计算P[i]呢?该算法增加两个辅助变量(其实一个就够了,两个更清晰)id和mx,其中 id 为已知的 (右边界最大)的回文子串的中心,mx则为id+P[id],也就是这个子串的右边界。
然后可以得到一个非常神奇的结论,这个算法的关键点就在这里了:如果mx > i,那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点,理解起来会简单很多:
//记j = 2 * id - i,也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id)) if (mx - i > P[j]) P[i] = P[j]; else /* P[j] >= mx - i */ P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i,取最小值,之后再匹配更新。
当 mx - i > P[j] 的时候,以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中,由于 i 和 j 对称,以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中,所以必有 P[i] = P[j],见下图。
当 P[j] >= mx - i 的时候,以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中,但是基于对称性可知,下图中两个绿框所包围的部分是相同的,也就是说以S[i]为中心的回文子串,其向右至少会扩张到mx的位置,也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称,就只能老老实实去匹配了。
对于 mx <= i 的情况,无法对 P[i]做更多的假设,只能P[i] = 1,然后再去匹配了。
const int maxn=2e5+10; int p[maxn],s[maxn],n; void Manacher() { mx=0,id=0; for(int i=1;s[i]!='\0';++i){ p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1; while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]) p[i]++; if(i+p[i]>mx){ mx=i+p[i]; id=i; } } }
应用:
求不严格增减回文串
求最长回文串长度
1.HDU4513-吉哥系列故事——完美队形II
题意:
求不严格递增的回文串满足题给情况
只需要在while判断回文串的长度时候加入特判条件
const int maxn=2e5+10; int p[maxn],s[maxn],n; #define INF 0x3f3f3f3f int Manacher() { int ans=0; int mx=0,id=0; for(int i=1;i<n;++i){ p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1; while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]&&s[i+p[i]]<=s[i+p[i]-2]) p[i]++; if(i+p[i]>mx){ mx=i+p[i]; id=i; } ans=max(ans,p[i]-1);//求最长回文串 } return ans; } int main() { int t;scanf("%d",&t); while(t--){ int m;scanf("%d",&m); n=0; s[n++]=INF; for(int i=1;i<=m;++i){ s[n++]=0; scanf("%d",&s[n++]); } s[n++]=0; s[n++]=-INF;s[n]=-INF; printf("%d\n",Manacher()); } }
2.POJ3974-Palindrome
题意:
裸题,求最长回文串
int Manacher() { int ans=0; int mx=0,id=0; for(int i=1;i<n;++i){ p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1; while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]&&s[i+p[i]]<=s[i+p[i]-2]) p[i]++; if(i+p[i]>mx){ mx=i+p[i]; id=i; } ans=max(ans,p[i]-1); } return ans; } int main() { int t;scanf("%d",&t); while(t--){ int m;scanf("%d",&m); n=0; s[n++]=INF; for(int i=1;i<=m;++i){ s[n++]=0; scanf("%d",&s[n++]); } s[n++]=0; s[n++]=-INF;s[n]=-INF; printf("%d\n",Manacher()); } }
学习Manacher时候看的blog:https://www.felix021.com/blog/read.php?2040