阶乘结果中0的个数

阶乘N!的结果中，有多少个0呢？可以分解N!，观察结果如下：

N! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * …… * N

可以发现，我们可以将所有的非素数因子分解为素数因子，那么就可以得到如下的形式：

N! = 2^x * 3^y * 5^z * 7^w ……

可以肯定，2的次数x一定会大于5的次数z。因为从统计上来看，2每间隔一个数至少出现一次，而5需要间隔4个数才会出现一次。同时，产生0的必要条件是出现2*5。那么在2的数量多于5的情况下，5的个数就决定了阶乘结果中0的个数。所以，可以得出，最后的0的个数就是z。

示例程序如下：

#include <iostream>
using namespace std;


int CalcZeroNum(int n) {
    int num=0;

    for(int i=5;i<=n;i++) {
        int k = i;
        while (k%5==0) {
            num++;
            k = k/5;
        }
    }
    return num;
}

int CalcZeroNumImprove(int n) {
    int num = 0;
    while(n/5) {
        n = n/5;
        num+=n;
    }
    return num;
}

int main(void)
{
    int n;
    cout<<"input your number: ";
    cin>>n;
    cout<<endl;
    cout<<"method 1 : "<<CalcZeroNum(n)<<endl;
    cout<<"method 2 : "<<CalcZeroNumImprove(n)<<endl;
    return 0;
}

几个测试结果：

f(5!)    = 1
f(10!)   = 2
f(20!)   = 4
f(100!)  = 24
f(1000!) = 249