微积分的学习

微积分的学习

目录

• 微积分的学习
  • 导数
  • 定积分
  • 定积分的中值定理
  • 牛顿－莱布尼茨公式

导数

定义

设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\)在\(x_0\)处有增量\(\Delta x (x_0+\Delta x)\)也在该邻域内时，相应地函数取得增量\(\Delta y = f(x_0+\Delta x) = f(x_0)\)；如果\(\Delta y\)与\(\Delta x\)之比当\(\Delta x\rightarrow 0\)时极限存在，则称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，并称这个极限值为函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数记为\(f'(x)\)，即

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

也记作：

\[y'\mid _{x=x_0}或\frac {dy}{dx}\mid_{x=x_0} \]

导函数

如果函数\(y=f(x)\)在开区间\(I\)内每一点都可导，就称函数\(y=f(x)\)在区间\(I\)内可导。这时函数\(y=f(x)\)对于区间\(I\)内的每一个确定的\(x\)值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数\(y=f(x)\)的导函数，记作\(y',f'(x),\frac {dy}{dx}, \frac {df(x)}{dx}\)简称导数。

几何意义

函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)点的导数\(y=f'(x_0)\)的几何意义：表示函数曲线在点\(P_0(x_0,f(x_0))\)处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

基本求导公式

\((C)' = 0\)
\((x^\mu)' = \mu x^{\mu - 1}\)
\((sinx)' = cosx\)
\((cosx)'=-sinx\)
\((tanx)' = sec^2x\)
\((cotx)' = -csc^2x\)
\((secx)' = secxtanx\)
\((cscx)' = -cscxcotx\)
\((a^x)' = a^xlna\)
\((e^x)' = e^x\)
\(log_ax=\frac 1 {xlna}\)
\((lnx)' = \frac 1 x\)
\((arcsinx)' = \frac 1 {\sqrt {1-x^2}}\)
\((arccosx)' = - \frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\)
\((arctanx)' = \frac 1 {1+x^2}\)
\((arccotx)' = - \frac 1 {1 + x^2}\)

定积分

\[\int_a^bf(x)dx = lim\sum_{j=1}^nf(v_j)\Delta x_j \]

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
定积分就是求函数\(f(X)\)在区间\([a,b]\)中图线下包围的面积。即由 \(y=0,x=a,x=b,y=f(X)\)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定积分的中值定理

设\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则存在\(\xi\)使得

\[\int_a^bf(x)dx = f(\xi)(b-a) \]

上面公式的几何意义就是：

由\(x\)轴、\(x=a\)、\(x=b\)及曲线\(y=f(x)\)围城的曲边梯形的面积必定等于一个长为\(b－a\)，宽为f\((\xi)\)的矩形的面积。也就是说，面积是连续的。

牛顿－莱布尼茨公式

假设\(f(x)\)的原函数是\(F(x)\)，则存在以下公式：

\[\int_a^bf(x)dx=F(x)\mid_a^b=F(b)-F(a) \]

以上公式的内容表明

一个连续函数在区间 \([ a , b ]\) 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间\([ a , b ]\)上的增量。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。