【科技】 数数（组合数学）

今天终于开坑了，开始学数数。

基本原理

加法原理：对于一件事，有 \(n\) 种方法，其中第 \(i\) 种方法有 \(a_i\) 个方案，则总方案是 \(\sum_{i=1}^n a_i\).

乘法原理：对于若干件相互独立的事，第 \(i\) 件事有 \(a_i\) 种方法，则总方案数为 \(\prod_{i=1}^n a_i\).

排列数：从 \(n\) 个东西里面抽 \(m\) 个，不同顺序算作不同方案，总方案数为 \(\mathrm{A}_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\).

证明可以这样考虑：第一次选择有 \(n\) 种选择，第二次有 \((n-1)\) 种，第三次有 \((n-2)\) 种 \(\cdots\) 第 \(m\) 次有 \(n-m+1\) 种，故总方案数为 \(\prod_{i=n-m+1}^n=\frac{n!}{(n-m)!}\).

组合数：与排列数类似，只不过不同顺序算作同种方案，记作 \(\mathrm{C}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)，不过更常用的记法是 \(\binom{n}{m}\).

二项式定理

定义在整数域上的二项式定理：

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i} \]

因此组合数也叫二项式系数.

证明：

首先引出一个组合数的递推式：

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]

从组合意义上来理解：对于某一件物品分类讨论，当这件物品被选择时，就要在剩下的 \(n-1\) 件里面选出 \(m-1\) 件，否则在剩下的 \(n-1\) 件里面选出 \(m\) 件.

考虑数学归纳法：

当 \(n=0\) 时，原式显然成立，现在假设当 \(n=x-1\) 时等式成立，即：\((a+b)^{x-1}=\sum_{i=0}^{x-1}\binom{x-1}{i}a^ib^{x-i-1}\).

那么

\[(a+b)^x=\sum_{i=0}^{x-1}\big(\binom{x-1}{i}a^{i+1}b^{x-i-1}+\binom{x-1}{i}a^ib^{x-i}\big) \]

\[=\sum_{i=1}^{x}\binom{x-1}{i-1}a^{i}b^{x-i}+\sum_{i=0}^{x-1}\binom{x-1}{i}a^ib^{x-i} \]

由于当 \(i=x\) 和 \(i=0\) 时都有一个式子是 \(0\)，所以可以写成：

\[\sum_{i=0}^{x}\big(\binom{x-1}{i-1}a^{i}b^{x-i}+\binom{x-1}{i}a^ib^{x-i}\big) \]

再上上面的递推式，我们得到了：

\[(a+b)^x=\sum_{i=0}^x\binom{x}{i}a^ib^{x-i} \]

证毕.

容斥原理

假设机房里每个人都喜欢打游戏，有 \(10\) 个人喜欢打floor，有15人喜欢打gen，有20人喜欢打saly.one，现在需要求出机房的总人数。

很显然，总人数并不是单纯的 \(10+15+20\)，因为有的人可能喜欢玩多款游戏，现在设喜欢打floor的人的集合为 \(A\)，同理其他两个是 \(B\) 和 \(C\)，那么总人数即为 \(A\cup B\cup C=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B \cap C|\)，给个图更好理解：

据此，我们有容斥原理：

\[ \begin{split} \left|\bigcup_{i=1}^{n}S_i\right|=&\sum_{i}|S_i|-\sum_{i<j}|S_i\cap S_j|+\sum_{i<j<k}|S_i\cap S_j\cap S_k|-\cdots\\ &+(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1} }\left|\bigcap_{i=1}^{m}S_{a_i}\right|+\cdots+(-1)^{n-1}|S_1\cap\cdots\cap S_n| \end{split} \]

大概的意思就是枚举所有集合组成的整体的子集，按照子集大小确定前面的符号，下面证明容斥原理的正确性：