【科技】 数数（组合数学）

今天终于开坑了，开始学数数。

基本原理

加法原理：对于一件事，有 $n$ 种方法，其中第 $i$ 种方法有 $a_i$ 个方案，则总方案是 $\sum _{i=1}^n{a}_i$.

乘法原理：对于若干件相互独立的事，第 $i$ 件事有 $a_i$ 种方法，则总方案数为 $\prod _{i=1}^n{a}_i$.

排列数：从 $n$ 个东西里面抽 $m$ 个，不同顺序算作不同方案，总方案数为 ${\mathrm{A}}_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$.

证明可以这样考虑：第一次选择有 $n$ 种选择，第二次有 $(n-1)$ 种，第三次有 $(n-2)$ 种 $\cdots$ 第 $m$ 次有 $n-m+1$ 种，故总方案数为 $\prod _{i=n-m+1}^n=\frac{n!}{(n-m)!}$.

组合数：与排列数类似，只不过不同顺序算作同种方案，记作 ${\mathrm{C}}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，不过更常用的记法是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$.

二项式定理

定义在整数域上的二项式定理：

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^i{b}^{n-i}$$

因此组合数也叫二项式系数.

证明：

首先引出一个组合数的递推式：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})$$

从组合意义上来理解：对于某一件物品分类讨论，当这件物品被选择时，就要在剩下的 $n-1$ 件里面选出 $m-1$ 件，否则在剩下的 $n-1$ 件里面选出 $m$ 件.

考虑数学归纳法：

当 $n=0$ 时，原式显然成立，现在假设当 $n=x-1$ 时等式成立，即：$(a+b{)}^{x-1}=\sum _{i=0}^{x-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i})a^i{b}^{x-i-1}$.

那么

$$(a+b{)}^x=\sum _{i=0}^{x-1}((\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i})a^{i+1}{b}^{x-i-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i})a^i{b}^{x-i})$$

$$=\sum _{i=1}^x(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i-1})a^i{b}^{x-i}+\sum _{i=0}^{x-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i})a^i{b}^{x-i}$$

由于当 $i=x$ 和 $i=0$ 时都有一个式子是 $0$，所以可以写成：

$$\sum _{i=0}^x((\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i-1})a^i{b}^{x-i}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i})a^i{b}^{x-i})$$

再上上面的递推式，我们得到了：

$$(a+b{)}^x=\sum _{i=0}^x(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})a^i{b}^{x-i}$$

证毕.

容斥原理

假设机房里每个人都喜欢打游戏，有 $10$ 个人喜欢打floor，有15人喜欢打gen，有20人喜欢打saly.one，现在需要求出机房的总人数。

很显然，总人数并不是单纯的 $10+15+20$，因为有的人可能喜欢玩多款游戏，现在设喜欢打floor的人的集合为 $A$，同理其他两个是 $B$ 和 $C$，那么总人数即为 $A\cup B\cup C=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$，给个图更好理解：

据此，我们有容斥原理：

$$\begin{array}{rl}\left|\bigcup _{i=1}^n{S}_i\right|=& \sum _i|S_i|-\sum _{i<j}|S_i\cap S_j|+\sum _{i<j<k}|S_i\cap S_j\cap S_k|-\cdots \\ & +(-1{)}^{m-1}\sum _{a_i<a_{i+1}}\left|\bigcap _{i=1}^m{S}_{a_i}\right|+\cdots +(-1{)}^{n-1}|S_1\cap \cdots \cap S_n|\end{array}$$

大概的意思就是枚举所有集合组成的整体的子集，按照子集大小确定前面的符号，下面证明容斥原理的正确性：