【科技】 扩展中国剩余定理（exCRT）

尽管这玩意叫扩展中国剩余定理，但它跟CRT一点关系没有，你只需要会exgcd即可。

考虑这样的一组模线性同余方程组：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(\mathrm{mod}{a}_1)\\ x\equiv b_2(\mathrm{mod}{a}_2)\\ ⋮\\ x\equiv b_n(\mathrm{mod}{a}_n)\end{array}$$

注意与前面不同的是 $a_i$ 不一定满足两两互质。

这时候再套CRT肯定是不行了（因为 $M_i$ 与 $a_i$ 不一定互质，导致逆元可能不存在），这时就要考虑exCRT。

CRT的基本思想是吧若干个同余方程合并为一个等价的同余方程，不难想到其实只需要考虑怎么把两个方程合并为一个即可。

假设现在有这样两个方程：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(\mathrm{mod}{a}_1)\\ x\equiv b_2(\mathrm{mod}{a}_2)\end{array}$$

不难发现这个方程组可以改写成这样：

$$\{\begin{array}{l}x=b_1+k_1{a}_1\\ x=b_2+k_2{a}_2\end{array}$$

于是有 $k_1{a}_1-k_2{a}_2=b_2-b_1$，此时只有 $k_1$，$k_2$ 是未知量，很容易判断是否有解（裴蜀定理）,如果有解那么先exgcd求出 $k_1{a}_1-k_2{a}_2=d$ 的一组特解 $K_1$，$K_2$，那么整个解集就可以得到了，这里只取其中的一组：

$$\{\begin{array}{l}{k}_1=K_1\frac{b_2-b_1}{d}\\ k_2=K_2\frac{b_2-b_1}{d}\end{array}$$

那么 $x=b_1+K_1{a}_1\frac{b_2-b_1}{d}$（当然也满足$x=b_2+K_2{a}_2\frac{b_2-b_1}{d}$）,而后面的模数显然应该取一个完全剩余系的大小 $\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2)$，于是我们成功的把两个方程合并成了一个：

$$x\equiv b_1+K_1{a}_1\frac{b_2-b_1}{d}(\mathrm{mod}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2))$$

那么这样逐个合并下去，直到只剩一个方程即为答案（或中途不满足 $gcd(a_i,a_{i+1})|(b_{i+1}-b_i)$ 报告无解）。