【科技】 扩展中国剩余定理（exCRT）

尽管这玩意叫扩展中国剩余定理，但它跟CRT一点关系没有，你只需要会exgcd即可。

考虑这样的一组模线性同余方程组：

\[ \begin{cases} x\equiv b_1 \pmod {a_1}\\ x\equiv b_2 \pmod{a_2}\\ \ \ \ \ \ \vdots\\ x \equiv b_n \pmod{a_n} \end{cases} \]

注意与前面不同的是 \(a_i\) 不一定满足两两互质。

这时候再套CRT肯定是不行了（因为 \(M_i\) 与 \(a_i\) 不一定互质，导致逆元可能不存在），这时就要考虑exCRT。

CRT的基本思想是吧若干个同余方程合并为一个等价的同余方程，不难想到其实只需要考虑怎么把两个方程合并为一个即可。

假设现在有这样两个方程：

\[ \begin{cases} x\equiv b_1 \pmod {a_1}\\ x\equiv b_2 \pmod{a_2}\\ \end{cases} \]

不难发现这个方程组可以改写成这样：

\[ \begin{cases} x= b_1+k_1 a_1\\ x=b_2+k_2 a_2\\ \end{cases} \]

于是有 \(k_1a_1-k_2a_2=b_2-b_1\)，此时只有 \(k_1\)，\(k_2\) 是未知量，很容易判断是否有解（裴蜀定理）,如果有解那么先exgcd求出 \(k_1a_1-k_2a_2=d\) 的一组特解 \(K_1\)，\(K_2\)，那么整个解集就可以得到了，这里只取其中的一组：

\[ \begin{cases} k_1=K_1\frac{b_2-b_1}{d}\\ k_2=K_2\frac{b_2-b_1}{d}\\ \end{cases} \]

那么 \(x=b_1+K_1a_1\frac{b_2-b_1}{d}\)（当然也满足\(x=b_2+K_2a_2\frac{b_2-b_1}{d}\)）,而后面的模数显然应该取一个完全剩余系的大小 \(\rm {lcm}(a_1,a_2)\)，于是我们成功的把两个方程合并成了一个：

\[x\equiv b_1+K_1a_1\frac{b_2-b_1}{d}\pmod {\rm{lcm}(a_1,a_2)} \]

那么这样逐个合并下去，直到只剩一个方程即为答案（或中途不满足 \(\gcd(a_i,a_{i+1})|(b_{i+1}-b_i)\) 报告无解）。