【科技】 中国剩余定理（CRT）

给定形如这样的方程组：

\[ \begin{cases} x\equiv b_1 \pmod {a_1}\\ x\equiv b_2 \pmod{a_2}\\ \ \ \ \ \ \vdots\\ x \equiv b_n \pmod{a_n} \end{cases} \]

其中 \(a_i\) 两两互质，求 \(x\) 的最小正整数解，这时可以考虑使用中国剩余定理。

中国剩余定理的基本思想是构造一组解 \(x_i\)，使得

\[x_i\equiv \begin{cases} 1 \pmod {a_i}\\ 0 \pmod {a_j}\ \ (j\not =i) \end{cases} \]

于是我们把每一个 \(x_i\) 乘上对应的 \(b_i\)，再加起来即可。

那么我们设 \(M=\prod_{i=1}^n a_i\)，设 \(M_i=\frac{M}{a_i}\)，由于 \(a_i\) 两两互质，不难发现 \(M_i⊥a_i\)，且 \(M_i \mod a_j = 0(i\not=j)\)，那么 \(M_i\) 关于 \(a_i\) 的逆元一定存在，设它是 \(t_i\)，那么 \(x_i=M_i\times t_i\)，那么最终的解 \(x\) 即为：\(\sum_{i=1}^n M_it_ib_i \mod M\)。

可以再去看看我写的扩展中国剩余定理。