【科技】 中国剩余定理（CRT）

给定形如这样的方程组：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(\mathrm{mod}{a}_1)\\ x\equiv b_2(\mathrm{mod}{a}_2)\\ ⋮\\ x\equiv b_n(\mathrm{mod}{a}_n)\end{array}$$

其中 $a_i$ 两两互质，求 $x$ 的最小正整数解，这时可以考虑使用中国剩余定理。

中国剩余定理的基本思想是构造一组解 $x_i$，使得

$$x_i\equiv \{\begin{array}{l}1(\mathrm{mod}{a}_i)\\ 0(\mathrm{mod}{a}_j)(j\ne i)\end{array}$$

于是我们把每一个 $x_i$ 乘上对应的 $b_i$，再加起来即可。

那么我们设 $M=\prod _{i=1}^n{a}_i$，设 $M_i=\frac{M}{a_i}$，由于 $a_i$ 两两互质，不难发现 $M_i\perp a_i$，且 $M_i\mathrm{mod}{a}_j=0(i\ne j)$，那么 $M_i$ 关于 $a_i$ 的逆元一定存在，设它是 $t_i$，那么 $x_i=M_i\times t_i$，那么最终的解 $x$ 即为：$\sum _{i=1}^n{M}_i{t}_i{b}_i\mathrm{mod}M$。

可以再去看看我写的扩展中国剩余定理。