【题解】 codeforeces CF222E Decoding Genome

可以先考虑裸的dp方程：

设 $d{p}_{i,j}$ 表示第 $i$ 个氨基酸为 $j$ 时前 $i$ 个氨基酸的方案数，则 $d{p}_{i,j}=\sum _{k}d{p}_{i-1,k}$，其中 $k$ 满足不存在 $<k,j>$ 这个二元组。

滚掉一维：$d{p}_i=\sum _{j}d{p}_j$。

这样复杂度 $O(nm)$，无法通过此题。

发现我们其实可以开一个数组 $a$，若 $a_{i,j}=1$ 表示 $i$ 后面可以跟 $j$，那原dp方程可化为：$d{p}_i=\sum _{j=1}^{m}d{p}_j\times a_{j,i}$

这样可能还不够明显，我们这么写：$d{p}_{k,i}=\sum _{j=1}^{m}d{p}_{k,j}\times a_{j,i}$，其中 $k=1$。

这很显然是一个矩乘的形式，于是最终的dp数组就是 $A\times a^{n-1}$，其中 $A=\{1,1,1,\dots ,1\}$。

复杂度 $O(m^3\log n)$，足以通过本题。