【题解】 洛谷 P6835 [Cnoi2020]线形生物

一道期望dp

设 $d{p}_i$ 表示从 $i$ 走到 $n+1$ 的期望步数。

我们可以设 $k_i$ 表示 $i$ 的出边条数，$e_{i,j}$ 表示 $i$ 的第 $j$ 条返祖边的终点，那么不难得到：

$$d{p}_i=1+\frac{1}{k_i}\times (d{p}_{i+1}+\sum _{j}d{p}_{e_{i,j}})$$

但是发现这玩意是没法转移的，因为 $d{p}_i$ 的值依赖于 $d{p}_{i+1}$ 的值，于是考虑把 $d{p}_{i+1}$ 移到一边：

$$d{p}_{i+1}=k_i\times d{p}_i-k_i-\sum _{j}d{p}_{e_{i,j}}$$

然后由于期望的线性性，$x$ 到 $y$ 的期望步数 $E_{x,y}$ 一定可以表示为 $\sum _{i=x}^{y-1}{E}_{i,i+1}$，设 $a_i=E_{i,i+1}$，所以实质上 $dp$ 数组是 $a$ 的后缀合，而思考这个dp之所以不能转移是因为我们只能从 $i=1$ 开始dp，但更新却应当是向 $i=1$ 依次更新才对，所以这时只需将后缀和转化为前缀和即可。

那么设 $b$ 是 $a$ 的前缀数组，则 $d{p}_i=d{p}_1-b_{i+1}$，此时的 $i\in [1,n]$，但是那个 $+1$ 我很不喜欢，于是我设 $f_i=b_{i+1}$，所以 $d{p}_i=d{p}_1-f_i$，$i\in [2,n+1]$。

$$d{p}_{i+1}=k_i\times (d{p}_1-f_i)-k_i-\sum _j(d{p}_1-f_{e_{i,j}})$$

整理一下:

$$d{p}_{i+1}=d{p}_1-k_i\times f_i-k_i+\sum _j{f}_{e_{i,j}}$$

$$d{p}_{i+1}=d{p}_1-f_{i+1}$$

所以：

$$f_{i+1}=k_i\times (f_i+1)-\sum _j{f}_{e_{i,j}}$$

而 $d{p}_{n+1}=d{p}_1-f_{n+1}=0$，所以最终答案即为 $f_{n+1}$。