【题解】 牛客 2021NOIP提高组模拟赛四 A（权限题）

考虑一个人的期望排名：

$$X_i=1+\sum _{j=1}^n\frac{1}{4}\sum _{k=1}^4\frac{1}{4}\sum _{q=1}^{4}P(S_{j,q}>S_{i,k})\wedge i\ne j$$

$$=1+\frac{1}{16}\sum _{k=1}^4\sum _{q=1}^4\sum _{j=1}^{n}P(S_{j,q}>S_{i,k})\wedge i\ne j$$

观察这个式子，发现可以先将所有的期望得分加入一个数组，sort一遍，然后就可以二分在 $\log n$ 的时间内求出最后一个 $\sum$，那这题复杂度就是 $O(n\log n)$ 的了。

注意需要把第 $i$ 个人自己的四个期望得分之间互相产生的贡献减去。

贴一下我刚了两个多小时的代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
// #define int long long
#define lc(k) k<<1
#define rc(k) k<<1|1
using namespace std;
const int MAX=1e5+10;
const int MOD=1e9+7;
inline char readchar() {
	static char buf[100000], *p1 = buf, *p2 = buf;
	return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
}
inline int read() {
#define readchar getchar
	int res = 0, f = 0;
	char ch = readchar();
	for(; !isdigit(ch); ch = readchar()) if(ch == '-') f = 1;
	for(; isdigit(ch);ch = readchar()) res = (res << 1) + (res << 3) + (ch ^ '0');
	return f ? -res : res;
}
inline void write(int x) {
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int a[MAX][2],qw[MAX][5],ans[MAX],jl[MAX][5];
struct node
{
    int fs,id;
    friend bool operator < (node x,node y)
    {
        return x.fs>y.fs;
    }
}cj[MAX*4];
signed main()
{
    int n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i][0]=read();a[i][1]=read();
        cj[i*4-3].fs=qw[i][1]=a[i][0]+a[i][1];
        cj[i*4-2].fs=qw[i][2]=a[i][1];
        cj[i*4-1].fs=qw[i][3]=a[i][0];
        cj[i*4].fs=qw[i][4]=0;
        cj[i*4-3].id=cj[i*4-2].id=cj[i*4-1].id=cj[i*4].id=i;
    }
    sort(cj+1,cj+1+n*4);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int sum=0;
        for(int j=1;j<=4;j++)
        {
            int t=lower_bound(cj+1,cj+1+4*n,(node){qw[i][j],0})-cj-1;
            sum+=t;jl[i][j]=t;ans[i]=sum;
        }    
    }
    for(int i=1;i<=n*4;i++) 
        for(int j=1;j<=4;j++)
            if(i<=jl[cj[i].id][j]) 
                ans[cj[i].id]--;
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.10lf\n",1.0+ans[i]/16.0);
    return 0;
}