多项式学习笔记

FFT

FFT就是利用单位根，实现 \(O(n\log n)\) 的将一个多项式 \(A(x)=\sum_{i=0}^{n-1} a_ix_i\) 由它的系数表示法转化为点值表示法，然后 \(O(n)\) 的与另一个多项式实现多项式乘法，然后再转化为系数表示法的过程。

FFT复杂度低的原因是它把 \(n\) 个\(A(x)\) 在系数和点值表示法之间转化变成 \(\frac{n}{2}\) 个

什么是单位根？想象一个画在复平面上的圆，半径为 \(1\) ，将这个圆 \(n\) 等分，从 \((1,0)\) 开始逆时针编号 \(0 \ - \ n-1\) ，那么每一个等分点就是一个单位根，其中第 \(k\) 个记作 \(\omega_n^k\)。

关于单位根有几个性质，FFT就是依靠这些性质来进行的：

1.\(\omega_n^k=(\omega_n^1)^k\)

这个比较显然，根据复数相乘时模相乘，幅角相加，可以从几何意义上理解。

2.\(\omega_{dn}^{dk}=\omega_n^k\)

依然是看图。

3.\(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_n^k\)

二者正好差一个半圆。

那么现在就可以利用这些性质来优化本来是 \(O(n^2)\) 的DFT啦：

首先需要将 \(A(x)\) 的项数补成 \(2\) 的正整数次幂，方便后面计算。

将 \(A(x)\) 展开：

\[A(x)=a_0x^0+a_1x^1+\cdots +a_{n-1}x^{n-1} \]

\[=(a_0x^0+a_2x^2+\cdots +a_{n-2}x^{n-2})+(a_1x^1+a_3x^3+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}) \]

\[=(a_0x^0+a_2x^2+\cdots +a_{n-2}x^{n-2})+x(a_1x^0+a_3x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-2}) \]

设：

\(A_0(x)=a_0x^0+a_2x^1+\cdots +a_{n-2}x^{\frac{n-2}{2}}\)

\(A_1(x)=a_1x^0+a_3x^1+\cdots +a_{n-1}x^{\frac{n-2}{2}}\)

然后可以发现：

\[A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2) \]

那么假设现在要计算的是 \(A(\omega_n^k)\ \ (k<\frac{n}{2})\)：

\[A(\omega_n^k)=A_0(\omega_n^{2k})+\omega_n^kA_1(\omega_n^{2k}) \]

\[=A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^k)+\omega_n^kA_1(\omega_{\frac{n}{2}}^k) \]

那当 \(k>\frac{n}{2}\) 时呢？因为这个 \(k\) 是枚举的，所以只要考虑怎么算出 \(A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})\) 就行了：

因为 \(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_n^k\)，所以：

\[A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^k)-\omega_n^kA_1(\omega_{\frac{n}{2}}^k) \]

然后我们发现，我们成功地把求 \(A(\omega_n^0)\ \ - \ \ A(\omega_n^{n-1})\) 转化为了求 \(A(\omega_n^0)\ \ - \ \ A(\omega_n^{ \frac{n}{2}-1})\)，这样一直递归下去，复杂度就从 \(O(n^2)\) 优化到了 \(O(n\log n)\)。

那么现在我们成功地把系数表示法转换为了点值表示法，再怎么转回来呢？其实只要把跑出来的点值表示法当成系数，把 \((w_n^k)^{-1}\) 带入再FFT一次，再除以 \(n\) 就行了：

依然是设 \(k<\frac{n}{2}\)

\[C(k)=\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^i)^j)(\omega_n^k)^{-i} \]

\[=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i \]

\[=nA(k) \]