多项式学习笔记

FFT

FFT就是利用单位根，实现 $O(n\log n)$ 的将一个多项式 $A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}_i$ 由它的系数表示法转化为点值表示法，然后 $O(n)$ 的与另一个多项式实现多项式乘法，然后再转化为系数表示法的过程。

FFT复杂度低的原因是它把 $n$ 个$A(x)$ 在系数和点值表示法之间转化变成 $\frac{n}{2}$ 个

什么是单位根？想象一个画在复平面上的圆，半径为 $1$ ，将这个圆 $n$ 等分，从 $(1,0)$ 开始逆时针编号 $0-n-1$ ，那么每一个等分点就是一个单位根，其中第 $k$ 个记作 ${\omega }_n^k$。

关于单位根有几个性质，FFT就是依靠这些性质来进行的：

1.${\omega }_n^k=({\omega }_n^1{)}^k$

这个比较显然，根据复数相乘时模相乘，幅角相加，可以从几何意义上理解。

2.${\omega }_{dn}^{dk}={\omega }_n^k$

依然是看图。

3.${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}=-{\omega }_n^k$

二者正好差一个半圆。

那么现在就可以利用这些性质来优化本来是 $O(n^2)$ 的DFT啦：

首先需要将 $A(x)$ 的项数补成 $2$ 的正整数次幂，方便后面计算。

将 $A(x)$ 展开：

$$A(x)=a_0{x}^0+a_1{x}^1+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$$

$$=(a_0{x}^0+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-2}{x}^{n-2})+(a_1{x}^1+a_3{x}^3+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1})$$

$$=(a_0{x}^0+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-2}{x}^{n-2})+x(a_1{x}^0+a_3{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-2})$$

设：

$A_0(x)=a_0{x}^0+a_2{x}^1+\cdots +a_{n-2}{x}^{\frac{n-2}{2}}$

$A_1(x)=a_1{x}^0+a_3{x}^1+\cdots +a_{n-1}{x}^{\frac{n-2}{2}}$

然后可以发现：

$$A(x)=A_0(x^2)+x{A}_1(x^2)$$

那么假设现在要计算的是 $A({\omega }_n^k)(k<\frac{n}{2})$：

$$A({\omega }_n^k)=A_0({\omega }_n^{2k})+{\omega }_n^k{A}_1({\omega }_n^{2k})$$

$$=A_0({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)+{\omega }_n^k{A}_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$$

那当 $k>\frac{n}{2}$ 时呢？因为这个 $k$ 是枚举的，所以只要考虑怎么算出 $A({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})$ 就行了：

因为 ${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}=-{\omega }_n^k$，所以：

$$A({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})=A_0({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)-{\omega }_n^k{A}_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$$

然后我们发现，我们成功地把求 $A({\omega }_n^0)-A({\omega }_n^{n-1})$ 转化为了求 $A({\omega }_n^0)-A({\omega }_n^{\frac{n}{2}-1})$，这样一直递归下去，复杂度就从 $O(n^2)$ 优化到了 $O(n\log n)$。

那么现在我们成功地把系数表示法转换为了点值表示法，再怎么转回来呢？其实只要把跑出来的点值表示法当成系数，把 $(w_n^k{)}^{-1}$ 带入再FFT一次，再除以 $n$ 就行了：

依然是设 $k<\frac{n}{2}$

$$C(k)=\sum _{i=0}^{n-1}(\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j({\omega }_n^i{)}^j)({\omega }_n^k{)}^{-i}$$

$$=\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j\sum _{i=0}^{n-1}({\omega }_n^{j-k}{)}^i$$

$$=nA(k)$$