[数据结构] 数组与特殊矩阵
写在前面
偷懒，先写了数组，队列要画图，所以今天就先不写了
数组的定义
数组是由n个相同类型的数据元素构成的有限序列。每个数据元素被称为一个数组元素，每个元素在n个线性关系中的序号称为该元素的下标，下标的取值范围称为数组的维界。
数组与线性表的关系：数组是线性表的推广。一维数组可视为一个线性表，二维数组可视为其元素是定长数组的线性表。因此，除结构的初始化和销毁外，数组只会有存取元素和修改元素的操作。
数组的顺序存储
一维数组
以\(A[0 \dots n-1]\)为例，其存储结构关系式为：
\[LOC(a_i) = LOC(a_0) + i \times L(0 \leq i < n)
\]
其中，\(L\)是每个数组元素所占的存储单元。
多维数组
以二维数组为例。设二维数组的行下标与列下标的范围分别为\([0, h_1]\)和\([0,h_2]\)。
按行优先
先行后列，先存储行号较小的元素，行号相等先存储列号较小的元素。存储结构关系式为：
\[LOC(a_{i,j}) = LOC(a_{0,0})+[i \times(h_2+1) + j] \times L
\]
例如对于数组\(A_{[2][3]}\)。它按行优先方式在内存中的存储形式如下所示：
\[\left[
\begin{matrix}
a_{[0][0]} & a_{[0][1]} & a_{[0][2]} \\
a_{[1][0]} & a_{[1][1]} & a_{[1][2]} \\
\end{matrix}
\right]
\]
| \(a_{[0][0]}\) | \(a_{[0][1]}\) | \(a_{[0][2]}\) | \(a_{[1][0]}\) | \(a_{[1][1]}\) | \(a_{[1][2]}\) |
|---|
列优先
存储结构关系式为：
\[LOC(a_{i,j}) = LOC(a_{0,0})+[j \times (h_1 + 1) + i] \times L
\]
例如对于数组\(A_{[2][3]}\)。它按行优先方式在内存中的存储形式如下所示：
\[\left[
\begin{matrix}
a_{[0][0]} & a_{[0][1]} & a_{[0][2]} \\
a_{[1][0]} & a_{[1][1]} & a_{[1][2]} \\
\end{matrix}
\right]
\]
| \(a_{[0][0]}\) | \(a_{[1][0]}\) | \(a_{[0][1]}\) | \(a_{[1][1]}\) | \(a_{[0][2]}\) | \(a_{[1][2]}\) |
|---|
特殊矩阵的压缩存储
压缩存储：指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配空间；
特殊矩阵：指具有许多相同矩阵元素或零元素，并且这些相同矩阵元素或零元素的分布具有一定规律性的矩阵；
特殊矩阵的压缩存储：找出特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现规律性分布的、值相同的多个矩阵元素压缩存储到一个存储空间中。
对称矩阵
对一个n阶矩阵\(A\)中的任意一个元素\(a_{i,j}\)都有\(a_{i, j} = a_{j, i}(1 \leq i, j \leq n)\)，则称其为对称矩阵
\[\left[
\begin{matrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{matrix}
\right]
\]
很显然，对于n阶对称矩阵，上三角区所有元素和下三角区的对应元素相同，采用二维数组存放，会造成大范围的空间浪费，因此我们把其存放在一维数组\(B[\frac{n(n+1)}{2}]\)中。
比如只存放下三角部分的元素：
在数组\(B\)中，位于元素\(a_{i, j}\)前的元素个数为：
第1行：1个（\(a_{1,1}\)）
第2行：2个（\(a_{2,1},a_{2,2}\)）
\(\dots\)
第\(i-1\)行：\(i-1\)个（\(a_{i-1,1},a_{i-1,2} \dots ,a_{i-1,i-1}\)）
第\(i\)行：\(j-1\)个（\(a_{i,1},a_{i,2}, \dots , a_{i,j-1}\)）
因此，元素\(a_{i,j}\)在数组\(B\)中的下标\(k = 1 + 2 + \dots + (i - 1) + j - 1 = \frac{i(i - 1)}{2} + j - 1\)
因此，元素下标之间对应关系如下：
\[k =
\begin{cases}
\frac{i(i-1)}{2} + j - 1&, \qquad i \geq j \\
\frac{j(j-1)}{2} + i - 1&, \qquad i < j
\end{cases}
\]
三角矩阵
下三角矩阵
\[\left[
\begin{matrix}
a_{1,1} \\
a_{2,1} & a_{2,2} \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots a_{n,n}
\end{matrix}
\right]
\]
上三角区为统一常量。元素下标之间的对应关系为：
\[k =
\begin{cases}
\frac{i(i-1)}{2} + j - 1 &, \qquad i \geq j \\
\frac{n(n-1)}{2} &, \qquad i < j
\end{cases}
\]
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | \(\cdots\) | \(\frac{n(n+1)}{2}\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 元素 | \(a_{1,1}\) | \(a_{2,1}\) | \(a_{2,2}\) | \(a_{3,1}\) | \(a_{3,2}\) | \(a_{3,3}\) | \(\cdots\) | \(a_{n,1}\) | \(a_{n,2}\) | \(\cdots\) | \(a_{n,n}\) | \(c\) |
| 行号 | 第一行 | 第二行 | 第二行 | 第三行 | 第三行 | 第三行 | \(\cdots\) | 第n行 | 第n行 | \(\cdots\) | 第n行 | 常数项 |
上三角矩阵
\[\left[
\begin{matrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
& a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
& & \ddots & \vdots \\
& & & a_{n,n}
\end{matrix}
\right]
\]
与上文类似地，位于元素\(a_{i,j}(i \leq j)\)前面的元素个数为：
第1行：\(n\)个
第2行：\(n-1\)个
\(\dots\)
第\(i-1\)行：\(n - i + 2\)个
第\(i\)行：\(j-1\)个
因此，元素\(a_{i,j}\)在数组\(B\)中的下标\(k = n + (n - 1) + \dots + (n - i + 2) + (j - i + 1) - 1\)
因此，元素下标之间对应关系如下：
\[k =
\begin{cases}
\frac{(i-1)(2n - i + 2)}{2} + j - i &, \qquad i \leq j \\
\frac{n(n+1)}{2} &, \qquad i > j
\end{cases}
\]
| 下标 | 0 | 1 | \(\cdots\) | \(\frac{n(n+1)}{2}\) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 元素 | \(a_{1,1}\) | \(a_{1,2}\) | \(\cdots\) | \(a_{1,n}\) | \(a_{2,2}\) | \(a_{2,3}\) | \(\cdots\) | \(a_{2,n}\) | \(\cdots\) | \(a_{n,n}\) | \(c\) |
| 行号 | 第一行 | 第一行 | 第一行 | 第一行 | 第二行 | 第二行 | 第二行 | 第二行 | \(\cdots\) | 第n行 | 常数 |
三对角矩阵
对n阶矩阵\(A\)中的任意元素\(a_{i,j}\)，都有当\(|i-j| >1\)时，\(a_{i,j} = 0\)。
\[\left[
\begin{matrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & & 0 \\
& a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\
& & \ddots & \ddots & \ddots \\
& 0 & & a_{n-1,n-2} & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\
& & & & a_{n,n-1} & a_{n, n}
\end{matrix}
\right]
\]
稀疏矩阵
矩阵中非零元素的个数t，相对于矩阵元素的个数s来说非常少，即\(s >> t\)的矩阵称为稀疏矩阵
我们可以用对应的三元组线性表来存储稀疏矩阵，如下例：
\[M =
\left[
\begin{matrix}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 6 & 0 \\
0 & 9 & 0 & 0 \\
0 & 23 &0 & 0
\end{matrix}
\right]
\]
对应的三元组为：
\[\left(
\begin{matrix}
i & j & a_{i,j} \\
0 & 0 & 4 \\
1 & 2 & 6 \\
2 & 1 & 9 \\
3 & 1 & 23
\end{matrix}
\right)
\]
下面，上代码，可以实现稀疏矩阵的输入、输出，稀疏矩阵对应三元组的加法、乘法、转置：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXSIZE 10000
typedef int ElemType;
typedef struct {
int i, j;
ElemType e;
}Triple;
typedef struct {
Triple data[MAXSIZE + 1];
int mu, nu, tu; //矩阵行数，列数和非0元个数
}TSMatrix;
//输入稀疏矩阵数据
void InPutM(TSMatrix& M) {
printf("输入稀疏矩阵的 行数, 列数, 非0元个数 :\n");
scanf_s("%d %d %d", &M.nu, &M.mu, &M.tu);
printf("输入矩阵非0元素的 所在行i, 所在列j, 值e:\n");
for (int k = 1; k <= M.tu; k++) {
scanf_s("%d %d %d", &M.data[k].i, &M.data[k].j, &M.data[k].e);
}
}
//打印稀疏矩阵三元组数据
void PrintM(TSMatrix T) {
printf(" %d %d %d\n", T.mu, T.nu, T.tu);
printf(" ------------\n");
for (int k = 1; k <= T.tu; k++) {
printf(" %d %d %d\n", T.data[k].i, T.data[k].j, T.data[k].e);
}
}
//稀疏矩阵三元组加法
void AddSMatrix(TSMatrix a, TSMatrix b, TSMatrix& c) {
int i = 0, j = 0, k = 0;
ElemType v; //用于计算和
if (a.mu != b.mu || a.nu != b.nu) //两矩阵无法相加
return;
c.mu = a.mu;
c.nu = a.nu;
while (i < a.tu || j < b.tu)
{
//若行相等，看列
if (a.data[i + 1].i == b.data[j + 1].i)
{
//行相同时的第一种情况
if (a.data[i + 1].j < b.data[j + 1].j)
{
c.data[k + 1].i = a.data[i + 1].i;
c.data[k + 1].j = a.data[i + 1].j;
c.data[k + 1].e = a.data[i + 1].e;
k++;
i++; //前往下一个a中的非0元
}
//行相同时的第二种情况
else if (a.data[i + 1].j > b.data[j + 1].j)
{
c.data[k + 1].i = b.data[j + 1].i;
c.data[k + 1].j = b.data[j + 1].j;
c.data[k + 1].e = b.data[j + 1].e;
k++;
j++; //前往下一个b中的非0元
}
//行相同的第三种情况
else
{
v = a.data[i + 1].e + b.data[j + 1].e;
if (v != 0)
{
c.data[k + 1].i = a.data[i + 1].i;
c.data[k + 1].j = a.data[i + 1].j;
c.data[k + 1].e = v;
k++;
}
i++;
j++;
}
}
//若行不相同 的两种情况
else if (i == a.tu || a.data[i + 1].i > b.data[j + 1].i && j != b.tu)
{
c.data[k + 1].i = b.data[j + 1].i;
c.data[k + 1].j = b.data[j + 1].j;
c.data[k + 1].e = b.data[j + 1].e;
k++;
j++; //前往下一个b的非0元
}
else if (j == b.tu || a.data[i + 1].i < b.data[j + 1].i && i != a.tu)
{
c.data[k + 1].i = a.data[i + 1].i;
c.data[k + 1].j = a.data[i + 1].j;
c.data[k + 1].e = a.data[i + 1].e;
k++;
i++; //前往下一个a的非0元
}
}
c.tu = k;
}
//乘法辅助函数
int Getval(TSMatrix a, int i, int j) {
int k = 1;
while (k <= a.tu && (a.data[k].i != i || a.data[k].j != j))
k++;
if (k <= a.tu)
return a.data[k].e;
else
return 0;
}
//稀疏矩阵三元组乘法
void MultSMatrix(TSMatrix a, TSMatrix b, TSMatrix& c) {
int p = 0;
ElemType s;
if (a.nu != b.mu)
return;
for (int i = 1; i <= a.mu; i++) {
for (int j = 1; j <= b.nu; j++) {
s = 0;
for (int k = 1; k <= a.nu; k++)
s += Getval(a, i, k) * Getval(b, k, j);
if (s != 0) {
c.data[p + 1].i = i;
c.data[p + 1].j = j;
c.data[p + 1].e = s;
p++;
}
}
}
c.mu = a.mu;
c.nu = b.nu;
c.tu = p;
}
//稀疏矩阵转置 （适用于 tu << mu × nu 的情况）
void TransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix& T) {
T.mu = M.nu; //T行数等于原矩阵列数
T.nu = M.mu; //T列数等于原矩阵行数
T.tu = M.tu;
if (!T.tu)
return;
int q = 1; //从列数小的开始，一一对应赋值
for (int col = 1; col <= M.nu; ++col) {
for (int p = 1; p <= M.tu; ++p) {
if (M.data[p].j == col) {
T.data[q].i = M.data[p].j;
T.data[q].j = M.data[p].i;
T.data[q].e = M.data[p].e;
q++;
}
}
}
}
//稀疏矩阵的快速转置算法
int cpot[MAXSIZE + 1], num[MAXSIZE + 1]; //辅助数组
//cpot[col] 表示M中第col列第一个非0元在T.data中的位置
//num[col] 表示M中第col列中非0元的个数
void FastTransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix& T) {
T.mu = M.nu;
T.nu = M.mu;
T.tu = M.tu;
if (!T.tu)
return;
for (int col = 1; col <= M.mu; col++)
num[col] = 0; //初始化为0
for (int k = 1; k <= M.tu; k++)
num[M.data[k].j]++; //记录M.data[k].j列中非0元个数 （简易哈希表）
cpot[1] = 1; //初始化第一个非0元的序号
for (int col = 2; col <= M.mu; col++) //求第col列中第一个非零元在T.data中的序号
cpot[col] = cpot[col - 1] + num[col - 1];
for (int p = 1; p <= M.tu; p++) {
int col = M.data[p].j; //此时M对应三元组中的非0元的所在列
int q = cpot[col]; //q为当前非0元的应当放置的序号位置
T.data[q].i = M.data[p].j;
T.data[q].j = M.data[p].i;
T.data[q].e = M.data[p].e;
cpot[col]++; //cpot[col]++,对应下一个此列中非0元的序号
//cpot[col]最后一直加到等于cpot[col + 1],第col列也就不会有更多的非0元了
}
}
int main() {
TSMatrix A, B, C, D;
printf("输入稀疏矩阵A的三元组:\n");
InPutM(A);
PrintM(A);
printf("\n输入稀疏矩阵B的三元组:\n");
InPutM(B);
PrintM(B);
//printf("\n矩阵A与B相加得到矩阵C:\n");
//AddSMatrix(A, B, C);
//PrintM(C);
printf("\n矩阵A与B相乘得到矩阵D:\n");
MultSMatrix(A, B, D);
PrintM(D);
printf("\n");
system("pause");
system("cls");
TSMatrix M, T, FT;
printf("————稀疏矩阵转置测试————\n\n");
InPutM(M);
printf("\n稀疏矩阵转置前三元组: \n");
PrintM(M);
printf("\n稀疏矩阵转置结果: \n");
TransposeSMatrix(M, T);
PrintM(T);
printf("\n稀疏矩阵的快速转置结果: \n");
FastTransposeSMatrix(M, FT);
PrintM(FT);
}
