算法3：质数的个数

一、质数的定义

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

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二、判断质数的方法

for(int j = 2; j < i; j ++) {
    if(i % j == 0)
        break;
    if(i == j)
        cout << i << " ";
}

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三、完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int main() {
    int n, k = 0, count = 1;
    //2直接输出 
    cin >> n;
    printf("2 ");
    for (int j = 2; j <= n; j++){
        for (int i = 2; i < j ; i++) {
            if (j % i == 0)
                break;
            else if ((j % i != 0) && (i == (j-1)))
                k = j;
            else
                continue;
            count ++;
            printf("%d ", k);
        }                
    }
    printf("\n1-%d有%d个素数", n, count);
    return 0;
}

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四、优化

当我们的数据比较小的时候，我们当然可以使用双重循环的暴力做法找到质数，但是当数据较大时，时间复杂度会随之变大，我们可以通过sqet(n)进行第一次优化。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int N, count = 0;
    cin >> N;
    for (int n = 1; n <= N; n ++) {
        for (int i = 2; i <= sqrt(n); i ++) {
            if (n % i == 0)
                break;
        }
        if (j < i)
            printf("%d ", n);
            count ++;
    }
    printf("\n1-%d有%d个素数", N, count);
    return 0;
}

埃氏筛

首先将2到n范围内的整数写下来。

其中2是最小的素数，将表中所有的2的倍数划去。

表中剩下的最小的数字就是3，他不能被更小的数整除，所以3是素数。

再将表中所有的3的倍数划去…… 以此类推，如果表中剩余的最小的数是m，那么m就是素数。

然后将表中所有m的倍数划去，像这样反复操作，就能依次枚举n以内的素数。

埃氏筛法的时间复杂度是0(n*log(logn))。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e8 + 10;
bool isprime[N];

int main() {
    int n, i, ans;
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < N; i ++)
        isprime[i] = true;
//     isprime[0] = false;
//     isprime[1] = false;
    for(int i = 2; i <= n; i ++) {
        if(isprime[i]) {
            for(int j = i * 2; j <= n; j += i){
                //筛掉前面素数的倍数
                isprime[j] = false;
            }
        }
        if(isprime[i])
            ++ ans;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

对于较大的数据，这个代码是不能AC的，我们需要进一步的优化。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool a[100000005];
int main() {
    int n, ans = 0;
    cin >> n;
    for(int i = 2; i * i <= n; ++ i) {
        if(a[i] == 0){
            for(int j = i * i; j <= n; j += i) {
            //这里直接j=i*i,而不用j=i*2;因为前面有2*i,3*i,4*i....,(i-1)*i
                a[j] = 1;
            }
        }
    }
    for(int i = 2; i <= n; ++ i) {
        if(a[i] == 0)
            ++ ans;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

欧拉筛（线性筛）

欧拉筛法的原理同埃氏筛法，多了一个判断删除与标记最小质因子的过程。

在埃氏筛法中，一个合数来说可能会被筛多次，比如6可以被2筛去，也可以被3筛去，而欧拉筛要做的事情就是让一个合数只被筛一次。

首先，任何合数都能表示成多个素数的积。所以，任何的合数肯定有一个最小质因子。我们通过这个最小质因子就可以判断什么时候不用继续筛下去了。

首先看核心代码：

void ola(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i] == 0) primes[cnt ++ ] = i;//将质数存到primes中
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )//要确保质数的第i倍是小于等于n的。
        {
            st[primes[j] * i] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }

再看完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int v[100001000]; //v[i]=a代表数i的最小质因数为a 
int prime[600000]; 
int cnt = 0;
 
void is_prime(int n) {
    v[0] = v[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++ i) { //注意这里也统计了等于n的数 
        if(! v[i]){ 
            v[i] = i;
            prime[++ cnt] = i;
        } 
        for(int j = 1; j <= cnt; ++ j) {
            if(prime[j] > n / i || prime[j] > v[i])
                break; 
            v[i * prime[j]] = prime[j];

        }
    }
} 
 
int main(){
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    is_prime(n);
    for(int i = 0; i < q; ++ i) {
        int k;
        cin >> k;
        cout << prime[k] << endl;
    }
    return 0;
}