算法2：Hanoi塔
一、背景介绍
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片，一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一概针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
二、数学定义
从左到右有三根柱子A、B、C，其中A柱子上面有从小叠到大的n个圆盘，现要求将A柱子上的圆盘移到C柱子上去，期间只有一个原则：一次只能移到一个盘子且大盘子不能在小盘子上面，求移动的步骤和移动的次数。
我们记移动总次数为sum。
不难发现，
当n==1时，sum=1，
第一次：A→C；
当n==2时，sum=3，
第一次：A→B，
第二次：A→C，
第三次：B→C；
当n==3时，sum=7；
第一次： A→C，
第二次： A→B，
第三次： C→B，
第四次 ：A→C，
第五次 ：B→A，
第六次 ：B→C，
第七次： A→C；
因此，
不难发现规律：
1个圆盘的次数 2的1次方减1
2个圆盘的次数 2的2次方减1
3个圆盘的次数 2的3次方减1
……
n个圆盘的次数 2的n次方减1
故：移动次数为：2^n - 1。
三、递归算法
void hanoi(int n, int a, int b, int c) { if (n > 0) { hanoi(n - 1, a, c, b); move(a, b); hanoi(n - 1, c, b, a); } }
其中，hanoi（n, a, b, c）表示将塔座A上自下而上，由大到小叠放在一起的n个圆盘依移动规则移至塔座B上并按照同样的顺序叠放。在移动过程中，以塔座C作为辅助塔座。move(a, b)表示将塔座A上编号为n的圆盘移到塔座B上。
实现这个算法可以简单分为三个步骤：
（1） 把n-1个盘子由A 移到 B；
（2） 把第n个盘子由 A移到 C；
（3） 把n-1个盘子由B 移到 C；
从这里入手，在加上上面数学问题解法的分析，我们不难发现，移到的步数必定为奇数步：
（1）中间的一步是把最大的一个盘子由A移到C上去；
（2）中间一步之上可以看成把A上n-1个盘子通过借助辅助塔（C塔）移到了B上，
（3）中间一步之下可以看成把B上n-1个盘子通过借助辅助塔（A塔）移到了C上；
四、完整代码
#include<iostream> #include<math.h> using namespace std; void hanoi(int n, char A, char B, char C) { if (n == 1) cout << "将圆盘" << n << "从" << A << "移动到" << C << endl; else { hanoi(n - 1, A, C, B); cout<< "将圆盘" << n << "从" << A << "移动到" << C << endl; hanoi(n - 1, B, A, C); } } int main() { int n; cout << "请输入A上圆盘的个数n："; cin >> n; cout << endl; hanoi(n, 'A', 'B', 'C'); cout << endl; int sum = pow(2, n) - 1; printf("移动的总次数sum为:%d",sum); return 0; }
五、非递归（拓展）
该方法设计了一个数据结构 struct act {int flag,num; char x, y, z;} S[2000]; 存储当前操作信息，其中flag==0表示直接移动num号圆盘，否则需要进一步分解；num表示当前操作移动盘子的编号，x，y，z表示当前操作对应的3个塔柱，分别是出发柱，中点柱和目标柱。
void Hanoi_1(int n, char a, char b, char c)//非递归算法1 { struct act { int flag, num; char x, y, z; } S[2000]; //存储当前操作信息，flag==0表示直接移动num号圆盘，否则需要进一步分解 int top, m; char ta, tb, tc; S[0].flag = 1;//初值入栈 S[0].num = n; S[0].x = a; S[0].y = b; S[0].z = c; top = 0; int count = 0; while (top >= 0) { if (S[top].flag == 0 || S[top].num == 1)//直接将num号圆盘从x移动到z { printf("%d: %d %c -> %c ", ++count, S[top].num, S[top].x, S[top].z); --top; } else { //提取栈顶信息 m = S[top].num; ta = S[top].x; tb = S[top].y; tc = S[top].z; //将 Hanoi(n-1, b, a, c); 操作入栈 ，覆盖原栈顶信息 S[top].num = m - 1; S[top].x = tb; S[top].y = ta; S[top++].z = tc; //将 将第m个盘从a柱移动到c柱 操作入栈 S[top].flag = 0; S[top].num = m; S[top].x = ta; S[top++].z = tc; //将 Hanoi(n-1, a, c, b); 操作入栈 S[top].flag = 1; S[top].num = m - 1; S[top].x = ta; S[top].y = tc; S[top].z = tb; } } }
以上非递归算法利用栈模拟递归过程的基本方法。对于有n个盘子的汉诺塔问题，需要操作的步骤为2^n – 1，如果每一个步骤看成一个节点，则刚好构成一棵满二叉树，树高h与盘子数量的关系为h==n。结点所在的层数与对应盘子的编号关系为level==n+1-level，即盘子1在第n层，盘子n在第1层；若某个结点的操作为“盘子n从A->C”，则其左孩子操作为“盘子n-1从A->B”，右孩子操作为“盘子n-1从B->C”；中序遍历满二叉树，结点的编号恰好对应移动的次序。
因此我们可以构造一棵满二叉树，然后中序遍历该二叉树。
void Hanoi_3(int n, char a, char b, char c) { struct act { int num; char x, y, z; } BT[132000]; //存储每一步操作的满二叉树 int S[MAX] = { 0 }; int i, top, count = 0; BT[1].num = n;//为根结点赋值 BT[1].x = a; BT[1].y = b; BT[1].z = c; n = pow(2, n - 1); for (i = 1; i < n; i++)//为每个节点的左右孩子赋值 { BT[i + i].num = BT[i + i + 1].num = BT[i].num - 1; BT[i + i].x = BT[i + i + 1].y = BT[i].x; BT[i + i].z = BT[i + i + 1].x = BT[i].y; BT[i + i].y = BT[i + i + 1].z = BT[i].z; } //中序遍历满二叉树 n += n; i = 1; top = -1; while (i < n || top >= 0) { if (i < n)//入栈，并搜索左孩子 { S[++top] = i; i += i; } else//输出并退栈，搜索右孩子 { i = S[top--]; printf("%d: %d %c -> %c ", ++count, BT[i].num, BT[i].x, BT[i].z); i += i + 1; } } }
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