洛谷 P4910题解

题目大意

现在穿T次手串，每根手串的长度分别为不同的n,有木和金两种珠子，相邻两颗珠子必须有一个是金。

题目思路分析

我们现在设穿到第n个珠子时用金的方案数为f[1][n],用木的方案数为f[0][n]
如果第n个珠子为金，那么前一颗珠子是什么都可以，因此f[1][n]=f[1][n-1]+f[0][n-1]
而如果第n个珠子为木，那么前一颗珠子必须是金，因此f[0][n]=f[1][n-1]

时间复杂度分析

如果使用纯递推，时间复杂度为O(Tn),如果Tn<=1e8的话，这道题可以轻易解决，然而，这道题n最大能到1e18，而T最大能到10，因此不能使用纯递推
因此需要把时间复杂度优化到O(T\(log_{2}(n)\))，就要用到矩阵加速。
这道题不太方便使用通项公式，因为f[1][n]=f[1][n-1]+f[0][n-1]=f[1][n-1]+f[1][n-2]，是一个斐波那契数列，而斐波那契数列的通项公式中有\(\sqrt{5}\)这个无理数，可能会影响计算

所以总体思路就是矩阵快速幂加速递推

代码实现

矩阵乘法中 设A是一个P\(\times\)M,B是一个M\(\times\)Q,C是A乘以B的乘积，那么\(C_{i,j}\)=\(\sum_{k=1}^{M}A_{i,k} \times B_{k,j}\)
利用这个性质，我们可以将递推式转化为

\(\begin{pmatrix}f[0][i]&f[1][i]\end{pmatrix}\times\)

\[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

$=\begin{pmatrix}f[0][i+1]&f[1][i+1]\end{pmatrix}$
如果第一个用的是木珠子的话，最后一个只能用金珠子，这个要注意一下

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 5
#define mod 1000000007
using namespace std;
long long n;
struct arr{
    long long a[N][N];
    arr(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
}base,rst;
arr operator *(const arr &a,const arr &b){
    arr rst;
    for(int k=1;k<=N;k++){
        for(int i=1;i<=N;i++){
            for(int j=1;j<=N;j++){
                rst.a[i][j]=(rst.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return rst;
}//矩阵乘法
void qpow(long long b) {
    while (b) {
        if (b & 1) rst = rst * base;
        base = base * base;
        b >>= 1;
    }
}//矩阵快速幂
void func(){
	scanf("%lld",&n);
    rst.a[1][1]=1,base.a[1][1]=rst.a[1][2]=0;//很简单粗暴的初始化
    base.a[1][2]=base.a[2][2]=base.a[2][1]=1;
    qpow(n-1);
    long long ans=rst.a[1][2];
    base.a[1][1]=rst.a[1][1]=0,rst.a[1][2]=1;
    base.a[1][2]=base.a[2][2]=base.a[2][1]=1;
    qpow(n-1);
    ans=(ans+rst.a[1][1]+rst.a[1][2])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)func();
}