全排列生成算法（三）
基于阶乘数的全排列生成算法，是另一种通过序列顺序，输出全排列的算法。所谓阶乘数，实际上和我们常用的2进制，8进制，10进制，16进制一样，是一种数值的表示形式，所不同的是，上面这几种进制数，相邻位之间的进制是固定值，以10进制为例，第n位与第n+1位之间的进制是10，而阶乘数，相邻两位之间的进制是变值，第n位与第n+1位之间的进制是(n+1)!。对于10进制数，每一位的取值范围也是固定的0～9，而阶乘数每一位的取值范围为0～n。可以证明，任何一个数量，都可以由一个阶乘数唯一表示。下面以23为例，说明其在各种进制中的表现形式
| 2进制 | 8进制 | 10进制 | 16进制 | 阶乘数 | |
| 23 | 10111 | 27 | 23 | 17 | 3210 |
其中10进制23所代表的数量的计算方法为
D(23) = 2×10^1 + 3×10^0 = 2×10 + 3×1 = 23
阶乘数3210所代表的数量的计算方法为
F(3210) = 3×3! + 2×2! + 1×1! + 0×0! = 3×6 + 2×2 + 1×1 + 1×0 = 23
对于阶乘数而言，由于阶乘的增长速度非常快，所以其可以表示的数值的范围随着位数的增长十分迅速，对于n位的阶乘数而言，其表示的范围从0～(n+1)!-1，总共(n+1)!个数。阶乘数有很多性质这里我们只介绍其和全排列相关的一些性质。
首先是加法操作，与普通十进制数的加法基本一样，所不同的是对于第n位F[n](最低位从第0位开始)，如果F[n]+1>n，那么我们需要将F[n]置0，同时令F[n+1]+1，如果对于第n+1位，也导致进位，则向高位依次执行进位操作。这里我们看一下F(3210)+1，对于第0位，有F[0]+1=0+1=1>0，所以F[0]=0（实际上阶乘数的第0位一直是0），F[1]+1=1+1=2>1，F[1]=0，……，依次执行，各位都发生进位，最终结果F(3210)+1=F(10000)。
其次，对于n位的阶乘数，每一个阶乘数的各位的数值，正好对应了一个n排列各位的逆序关系。这里以abcd为例。例如F(2110)，其对应的排列的意思是，对于排列的第一个元素，其后有两个元素比他小；第二个元素，后面有一个元素比他小；第三个元素，后面有一个元素比他小。最终根据F(2110)构建的排列为cbda。4位的阶乘数，与4排列的对应关系如下表所示。
| 0000 | abcd | 1000 | bacd | 2000 | cabd | 3000 | dabc |
| 0010 | abdc | 1010 | badc | 2010 | cadb | 3010 | dacb |
| 0100 | acbd | 1100 | bcad | 2100 | cbad | 3100 | dbac |
| 0110 | acdb | 1110 | bcda | 2110 | cbda | 3110 | dbca |
| 0200 | adbc | 1200 | bdac | 2200 | cdab | 3200 | dcab |
| 0210 | adcb | 1210 | bdca | 2210 | cdba | 3210 | dcba |
由此，我们就可以利用阶乘数与排列的对应关系构建集合的全排列，算法如下。
- 对于n个元素的全排列，首先生成n位的阶乘数F[0...n-1]，并令F[0...n-1]=0。
- 每次对F[0...n-1]执行+1操作，所得结果，根据其与排列的逆序对应关系，生成排列。
- 直到到达F[0...n-1]所能表示的最大数量n!-1为止，全部n!个排列生成完毕。
这里有一个问题需要解决，就是如何根据阶乘数，及其与排列逆序的对应关系生成对应的排列，这里给出一个方法，
- 以字典序最小的排列a[0...n-1]作为起始，令i从0到n-2。
- 如果F[i]=0，递增i。
- 否则令t=a[i+F[i]]，同时将a[i...i+F[i]-1]区间的元素，向后移动一位，然后令a[i]=t，递增i。
下面说明一下如何根据阶乘数F(2110)和初始排列abcd，构建对应的排列。首先，我们发现F[0]=2，所以我们要将a[0+2]位置的元素c放在a[0]位置，之前，先用临时变量t记录a[2]的值，然后将a[0...0+2-1]区间内的元素向后移动一位，然后令a[0]=t，得到cabd，i值增加1；然后有F[1]=1，所以我们要将a[1+1]=a[2]=b放在a[1]位置，同时将a[1]向后移动一位，得到排列cbad；然后有F[2]=1，所以将a[2+1]=a[3]=d放在a[2]位置，同时a[2]向后移动一位。最终得到cbda，排列生成结束。整个算法代码如下
1 inline int FacNumNext(unsigned int* facnum, size_t array_size) 2 { 3 unsigned int i = 0; 4 5 while(i < array_size) 6 { 7 if(facnum[i] + 1 <= i) 8 { 9 facnum[i] += 1; 10 return 0; 11 } 12 else 13 { 14 facnum[i] = 0; 15 ++i; 16 } 17 } 18 19 return 1; 20 } 21 22 /* 23 * 根据阶乘数所指定的逆序数根据原始字符串构建排列输出 24 */ 25 inline void BuildPerm(const char* array, size_t array_size, const unsigned int* facnum, char* out) 26 { 27 char t; 28 unsigned int i, j; 29 30 memcpy(out, array, array_size * sizeof(char)); 31 32 for(i = 0; i < array_size - 1; ++i) 33 { 34 j = facnum[array_size - 1 - i]; 35 36 if(j != 0) 37 { 38 t = out[i + j]; 39 memmove(out + i + 1, out + i, j * sizeof(char)); 40 out[i] = t; 41 } 42 } 43 } 44 45 /* 46 * 基于阶乘数（逆序数）的全排列生成算法 47 */ 48 void FullArray(char* array, size_t array_size) 49 { 50 unsigned int facnum[array_size]; 51 char out[array_size]; 52 53 for(unsigned int i = 0; i < array_size; ++i) 54 { 55 facnum[i] = 0; 56 } 57 58 BuildPerm(array, array_size, facnum, out); 59 60 for(unsigned int i = 0; i < array_size; ++i) 61 { 62 cout << out[i] << ' '; 63 } 64 65 cout << '\n'; 66 67 while(!FacNumNext(facnum, array_size)) 68 { 69 BuildPerm(array, array_size, facnum, out); 70 71 for(unsigned int i = 0; i < array_size; ++i) 72 { 73 cout << out[i] << ' '; 74 } 75 76 cout << '\n'; 77 } 78 }
用该算法生成1234全排列，顺序如下图，该图来自与Wiki百科。
从生成排列顺序的角度讲，概算法相较于字典序和最小变更有明显优势，但是在实际应用中，由于根据阶乘数所定义的逆序构建排列是一个O(n^2)时间复杂度的过程，所以算法的整体执行效率逊色不少。但是通过阶乘数建立逆序数与排列对应关系的思路，还是十分精彩的，值得借鉴。
