全排列生成算法（二）
Steinhaus-Johnson-Trotter算法是一种基于最小变换的全排列生成算法，对于排列a[1...n]，该算法通过将a[i]，与a[i-1]（或a[i+1]）进行交换，生成下一个排列，直到所有排列生成完毕为止，这样，当前排列与其后继排列只是两个相邻位置的元素发生了调换。当然，为了防止重复生成某一个排列，算法并非随意调换某两个元素之间的位置，其生成全排列的具体规则如下。
- 首先，以字典序最小的排列起始，并且为该排列的每个元素赋予一个移动方向，初始所有元素的移动方向都向左。
- 在排列中查找这样的元素，该元素按照其对应的移动方向移动，可以移动到一个合法位置，且移动方向的元素小于该元素，在所有满足条件的元素中，找到其中的最大者。
- 将该元素与其移动方向所对应的元素交换位置。
- 对于排列中，所有元素值大于该元素的元素，反转其移动方向。
这里有几个概念需要说明一下，所谓合法位置，是指该元素按照其移动方向移动，不会移动到排列数组之外，例如对于<4，<1，<2，<3，此时对于元素4，如果继续向左移动，就会超过数组范围，所以4的下一个移动位置是非法位置。而且，所有元素，都只能向比自己小的元素的方向移动，如上面例子中的元素2，3，而元素1是不能够移动到元素4的位置的。每次移动，都要对可以移动的所有元素中的最大者进行操作，上例中元素1，4不能移动，2，3都存在合法的移动方案，此时需要移动3，而不能移动2。合法移动之后，需要将所有大于移动元素的元素的移动方向反转，上例中的元素3移动后的结果是4>，1<，<3，<2，可以看到，元素4的移动方向改变了。再如此例子<2，<1，3>，4>，对于其中的元素2，4，其对应的下一个移动位置都是非法位置，而对于元素1，3，其下一个移动位置的元素，都比他们要大，对于该排列就找不到一个可以的移动方案，这说明该算法已经达到终态，全排列生成结束。下面是该算法的代码
1 inline int SJTNext(unsigned int* index, size_t array_size, int* move) 2 { 3 unsigned int i, j, t; 4 5 //找到最大合法移动的元素索引 6 for(i = array_size - 1, j = array_size; i != UINT_MAX; --i) 7 { 8 if(i + move[i] < array_size && index[i] > index[i + move[i]]) 9 { 10 if(j == array_size) 11 { 12 j = i; 13 continue; 14 } 15 16 if(index[i] > index[j]) 17 { 18 j = i; 19 } 20 } 21 } 22 23 //未发现合法的移动策略 24 if(j == array_size) 25 { 26 return 1; 27 } 28 29 t = index[j];//要交换位置的元素 30 i = j + move[j];//发生交换的位置 31 swap(index, i, j); 32 swap(move, i, j); 33 34 //将所有比t大的元素的移动方向反转 35 for(i = 0; i < array_size; ++i) 36 { 37 if(index[i] > t) 38 { 39 move[i] = -move[i]; 40 } 41 } 42 43 return 0; 44 } 45 46 /* 47 * 基于最小变换的Steinhaus–Johnson–Trotter算法 48 */ 49 void FullArray(char* array, size_t array_size) 50 { 51 unsigned int index[array_size]; 52 int move[array_size]; 53 54 for(unsigned int i = 0; i < array_size; ++i) 55 { 56 index[i] = i; 57 move[i] = -1; 58 } 59 60 ArrayPrint(array, array_size, index); 61 62 while(!SJTNext(index, array_size, move)) 63 { 64 ArrayPrint(array, array_size, index); 65 } 66 }
代码使用了一个伴随数组move标记对应位置元素的移动方向，在元素移动时，move数组中的对应元素也要相应移动。该算法从初始排列<1,<2,<3,<4开始，可以生成4元素的所有排列，直至最终排列<2，<1，3>，4>为止，其状态转移如下图所示，该图片来自于Wiki百科。
实际上该算法是Shimon Even对于Steinhaus-Johnson-Trotter三人提出的全排列生成算法的改进算法，在算法中实际上还有一个问题需要解决，就是对于给定的排列，如何判断其所有元素的移动方向，如果上面所谓终态的移动方向是<2，<1，3>，<4，那么这个状态就还存在可行的移动方案。Johnson(1963)给出了判断当前排列各元素移动方向的方法，对于排列中的每个元素，判断所有比该元素小的元素所生成序列的逆序数，如果逆序数为偶，则该元素的移动方向为向左，否则移动方向向右，我们用这条原则来看一下上面的终态2，1，3，4。对于元素1，没有比1小的元素，此时我们认为，空序列的逆序数为偶，所以元素1的移动方向向左；对于元素2，比2小的元素形成的序列为1，单元素序列的逆序数为偶，所以2的移动方向向左；对于元素3，小于3的元素组成的序列为21，逆序数为1，奇数，所以3的移动方向向右；对于元素4，对应序列为213，逆序数为奇数，所以4的移动方向向右。根据该规则就可以知道，给定某一排列，其对应元素的移动方向是确定的。
