差分约束
基本概念
差分约束系统是一种特殊的\(n\)元一次不等式组，它包含\(n\)个变量\(x_1,x_2,...,x_n\)以及\(m\)个约束关系，每个约束条件由两个变量作差构成的，例如\(x_i-x_j\leq c_k\)，其中\(1\leq i,j\leq n,i\neq j,1\leq k \leq n\)且\(c_k\)为常数（可以是负数，也可以是非负数），我们要解决的问题是：求一组解\(x_1=a_1,x_2=a_2,...,x_n=a_n\)，使得所有的约束条件都满足，否则判断出无解。
差分约束系统中的每个约束条件\(x_i-x_j\leq c_k\)都可以变形成\(x_i\leq x_j+c_k\)，这与单源最短路中的三角形不等式\(dist[j]\leq dist[i]+w[i]\)非常相似。因此，我们可以把每个变量x_i看做图中的一个结点，对于每个约束条件\(x_i\leq x_j+c_k\)，从结点\(x_i\)向结点\(x_j\)连一条长度为\(c_k\)的有向边。
有解的条件是：从某一个源点出发，一定可以走到所有的边（因为每一条边都是一个约束条件，点则可以是孤立点）。
步骤
最大值：
1.先将每个不等式\(x_i\leq x_j+c_k\)，转化成一条从\(x_j\)走到\(x_i\)，长度为\(c_k\)的一条有向边。
2.找一个超级源点，使得该源点一定可以遍历到所有边。
3.从源点求一遍单源最短路径。
- 结果1：如果存在负环，则原不等式组一定无解。
- 结果2：如果没有负环，则\(dist[i]\)就是原不等式组的一个可行解。
最小值：
1.先将每个不等式\(x_i\geq x_j+c_k\)，转化成一条从\(x_j\)走到\(x_i\)，长度为\(c_k\)的一条有向边。
2.找一个超级源点，使得该源点一定可以遍历到所有边。
3.从源点求一遍单源最长路径。
- 结果1：如果存在正环，则原不等式组一定无解。
- 结果2：如果没有正环，则\(dist[i]\)就是原不等式组的一个可行解。
如何求解最大值最小值
这里的最值指的是每个变量的最值。
- 结论：如果求的是最小值，则应该求最长路；如果求的是最大值，则应该求最短路。
- 问题：如何转化\(x_i\leq c_k\)，这类不等式。
- 方法：建立一个超级原点\(0\)，然后建立\(0->i\)长度为\(c_0\)的边即可。
以求\(x_i\)的最大值为例：求所有从\(x_i\)出发，构成不等式链\(x_i\leq x_j+c_1\leq x_k+c_2\leq ...\leq c_0+c_1+c_2+...\)即为所计算出上界，最终\(x_i\)的最大值等于所有上界的最小值。
