最小生成树典型应用 —— AcWing 346.走廊泼水节

题目要求将一颗最小生成树添加一些边构成一个无向完全图，并且要求添加的边权最小。
而且必须保证构成的完全图中的最小生成树唯一且就是这棵最小生成树。

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我们先考虑kruskal算法。
我们需要对边进行排序，每次选择最小的那条边进行构造最小生成树，如果当前的边可以被选择我们有：
1.这个加边从操作是将两个集合合并，并且合并之后的集合是一棵树。
2.这棵树对于这两个集合而言，是一棵最小的生成树，因为如果不是最小生成树，那么整个树也不是一个最小生成树。
我们对这两个集合进行加边构造最完全图时，需要遵循以上两点。

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则构成完全图时，我们是从最小的集合进行构造，所以我们所选择的集合一定是一个完全图，则我们进行新的加边只需要将两个集合中的点对依次连接一条边即可，然后我们进行考虑新加边的权值。设加上的边是d，当前选择的边是w。
当d < w时，我们当前的生成树就不是最小生成树，当d = w时，我们当前的生成树就不是唯一的生成树。
所以我们只能满足d>w，为了满足题目的要求，添加的所有的边权总和最小，我们可以取d=w+1。

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 6010;

struct edge
{
    int a, b, w;
    bool operator< (const edge &x) const
    {
        return w < x.w;
    }
}edge[N * N / 2];
int n, m;
int f[N];
int s[N];

int find(int x) 
{
    if (f[x] != x) f[x] = find(f[x]);
    return f[x];
}

int main() 
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- ) 
    {
        cin >> n;
        for (int i = 1; i < n; i ++ ) 
        {
            int a, b, w;
            cin >> a >> b >> w;
            edge[i] = {a, b, w};
        }
        
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) f[i] = i, s[i] = 1;
        
        sort(edge + 1, edge + n);
        
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i < n; i ++ ) 
        {
            int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w;
            
            int fa = find(a), fb = find(b);
            if (fa != fb) 
            {
                f[fa] = fb;
                res += (LL)(s[fa] * s[fb] - 1) * (w + 1);
                s[fb] += s[fa];
            }
        }
        
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}