多重背包
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
接下来是二进制优化版本，未优化版本与完全背包问题基本一致
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 using namespace std; 4 5 const int N=30000; 6 7 int w[N],v[N],dp[N]; 8 int n,m; 9 10 int main() 11 { 12 cin>>n>>m; 13 14 int cnt=0; 15 while(n--) 16 { 17 int a,b,s; 18 cin>>a>>b>>s; 19 20 int k=1; 21 while(k<=s) 22 { 23 cnt++; 24 v[cnt]=a*k; 25 w[cnt]=b*k; 26 s-=k; 27 k*=2; 28 } 29 if(s>0) 30 { 31 cnt++; 32 v[cnt]=a*s; 33 w[cnt]=b*s; 34 } 35 } 36 37 for(int i=1;i<=cnt;i++) 38 for(int j=m;j>=v[i];j--) 39 dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]); 40 41 printf("%d",dp[m]); 42 return 0; 43 }
二进制优化基本思想就是从1开始以2的倍数倍增，并将这些集合的物品打包形成一个新的物品，由此可以转化为01背包问题（其中任意的集合组合可以表示成小于s[i]的任意一个数）
思路和多重背包问题I一样，但这题的数据范围变成1000了，非优化写法时间复杂度O(n^3) 接近 1e9
必超时。
优化多重背包的优化
首先，我们不能用完全背包的优化思路来优化这个问题，因为每组的物品的个数都不一样，是不能像之前一样推导不优化递推关系的。
我们列举一下更新次序的内部关系：
dp[i , j ] = max( dp[i-1,j] , dp[i-1,j-v]+w , dp[i-1,j-2*v]+2*w , dp[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
dp[i , j-v]= max( dp[i-1,j-v] , dp[i-1,j-2*v] + w , dp[i-1,j-2*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： dp[ i ][ j ]=max(dp[ i , j - v ]+w , dp[ i - 1 ][ j ])
接下来，我介绍一个二进制优化的方法，假设有一组商品，一共有11个。我们知道，十进制数字 11 可以这样表示
11=1011(B)=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)
11=1011(B)=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)
正常背包的思路下，我们要求出含这组商品的最优解，我们要枚举12次（枚举装0，1，2....12个）。
现在，如果我们把这11个商品分别打包成含商品个数为1个，2个，4个，4个（分别对应0001,0010,0100,0100）的四个”新的商品 “, 将问题转化为01背包问题，对于每个商品，我们都只枚举一次，那么我们只需要枚举四次 ，就可以找出这含组商品的最优解。 这样就大大减少了枚举次数。
这种优化对于大数尤其明显，例如有1024个商品，在正常情况下要枚举1025次 ， 二进制思想下转化成01背包只需要枚举10次。
优化的合理性的证明
先讲结论：上面的1，2，4，4是可以通过组合来表示出0~11中任何一个数的，还是拿11证明一下（举例一下）：
首先，11可以这样分成两个二进制数的组合：
11=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)
11=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)
其中0111通过枚举这三个1的取或不取（也就是对0001(B)，0010(B)，0100(B)的组合），可以表示十进制数0~7( 刚好对应了 1，2，4 可以组合出 0~7 ) , 0~7的枚举再组合上0100(B)( 即 十进制的 4 ) ，可以表示十进制数 0~11。其它情况也可以这样证明。这也是为什么，这个完全背包问题可以等效转化为01背包问题。
