【洛谷】4180：【模板】严格次小生成树[BJWC2010]【链剖】【线段树维护最大、严格次大值】
题目描述
小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是EM，严格次小生成树选择的边集是ES，那么需要满足：(value(e)表示边e的权值)$\sum_{e \in E_M}value(e)<\sum_{e \in E_S}value(e)$
这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。
输出格式：
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
输入输出样例
说明
数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。
Solution
无所不能的链剖Orz！（就是太难调叻！！）
对于一条不在最小生成树上的边，如果要使它在次小生成树上，那就是在这条边的两端点的链的所有边中找一条删掉，要使他最接近次小，那么就是找链中最大的边，这样使增加的边权最小。但是题目要求是严格次小，意味着如果最大边权等于这条非树边边权，那么我们要找次大的边权。
因此线段树上再维护一个严格次大值就好了。
线段树的值是点权下放到边权。所以跳链查询时最后要查询的是$in[v]+1$到$in[u]$，防止把上面的边计算进去。
Code
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; struct Node { int u, v, nex, tag; LL w; Node(int u = 0, int v = 0, int nex = 0, LL w = 0) : u(u), v(v), nex(nex), w(w) { } } Edge[600005], a[300005]; bool cmp(Node a, Node b) { return a.w < b.w; } int h[100005], stot; void add(int u, int v, LL w) { Edge[++stot] = Node(u, v, h[u], w); h[u] = stot; } int n, m; int fa[100005], siz[100005], son[100005], dep[100005]; LL vson[100005]; void dfs1(int u, int f) { fa[u] = f; siz[u] = 1; dep[u] = dep[f] + 1; for(int i = h[u]; i; i = Edge[i].nex) { int v = Edge[i].v; if(v == f) continue; dfs1(v, u); siz[u] += siz[v]; if(siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v, vson[u] = Edge[i].w; } } int top[100005], in[100005], idc; LL seq[100005]; void dfs2(int u, int t, LL w) { top[u] = t; in[u] = ++idc; seq[idc] = w; if(son[u]) dfs2(son[u], t, vson[u]); for(int i = h[u]; i; i = Edge[i].nex) { int v = Edge[i].v; if(v == fa[u] || v == son[u]) continue; dfs2(v, v, Edge[i].w); } } struct QAQ { LL ma1, ma2; } TR[400005]; void update(int nd) { TR[nd].ma1 = max(TR[nd << 1].ma1, TR[nd << 1 | 1].ma1); TR[nd].ma2 = max(TR[nd].ma1 == TR[nd << 1].ma1 ? TR[nd << 1].ma2 : TR[nd << 1].ma1, TR[nd].ma1 == TR[nd << 1 | 1].ma1 ? TR[nd << 1 | 1].ma2 : TR[nd << 1 | 1].ma1); } void build(int nd, int l, int r) { if(l == r) { TR[nd].ma1 = seq[l]; TR[nd].ma2 = -1; return ; } int mid = (l + r) >> 1; build(nd << 1, l, mid); build(nd << 1 | 1, mid + 1, r); update(nd); } QAQ query(int nd, int l, int r, int L, int R) { if(l >= L && r <= R) return TR[nd]; int mid = (l + r) >> 1; QAQ ans, tmp, res; ans.ma1 = ans.ma2 = tmp.ma1 = tmp.ma2 = res.ma1 = res.ma2 = 0; if(L <= mid) { ans = query(nd << 1, l, mid, L, R); } if(R > mid) { tmp = query(nd << 1 | 1, mid + 1, r, L, R); } res.ma1 = max(ans.ma1, tmp.ma1); res.ma2 = max(ans.ma1 == res.ma1 ? ans.ma2 : ans.ma1, tmp.ma1 == res.ma1 ? tmp.ma2 : tmp.ma1); return res; } LL query(int u, int v, LL w) { LL ans = 0; while(top[u] != top[v]) { if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v); QAQ tmp = query(1, 1, n, in[top[u]], in[u]); ans = max(tmp.ma1 == w ? tmp.ma2 : tmp.ma1, ans); u = fa[top[u]]; } if(u == v) return ans; if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v); QAQ tmp = query(1, 1, n, in[v] + 1, in[u]); ans = max(ans, tmp.ma1 == w ? tmp.ma2 : tmp.ma1); return ans; } int f[100005]; int find(int x) { if(x != f[x]) return f[x] = find(f[x]); return f[x]; } LL tot; void Kruskal() { sort(a + 1, a + 1 + m, cmp); for(int i = 1; i <= n; i ++) f[i] = i; for(int i = 1; i <= m; i ++) { int u = a[i].u, v = a[i].v; LL w = a[i].w; int uu = find(u), vv = find(v); if(uu != vv) f[uu] = vv, a[i].tag = 1, tot += w; } } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for(int i = 1; i <= m; i ++) { int u, v; LL w; scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w); a[i].u = u, a[i].v = v, a[i].w = w; } Kruskal(); for(int i = 1; i <= m; i ++) if(a[i].tag) { add(a[i].u, a[i].v, a[i].w); add(a[i].v, a[i].u, a[i].w); } dfs1(1, 0); dfs2(1, 0, 0); build(1, 1, n); LL ans = 0x3f3f3f3f; for(int i = 1; i <= m; i ++) { if(!a[i].tag) { int u = a[i].u, v = a[i].v; LL w = a[i].w; LL tmp = query(u, v, w); ans = min(ans, w - tmp); } } printf("%lld", tot + ans); return 0; }
