数据挖掘数学基础

• 高数
  • 微分
  • 积分
  • 空间几何
• 概率论
  • 概率论
  • 数理统计
• 线代

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偏导数

多元函数，其他变量保持恒定，关于其中一个变量的导数

极限和收敛

a是数列的极限，或称数列收敛于a；如果不存在极限，则数列是发散的

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=a \]

常用求导公式

\[(x^u)^\prime=u*x^{u-1} \]

\[f(x)=a^x, f^\prime(x)=a^x*\ln \]

\[(\log_a x)^\prime=\frac{1}{x\ln_a} \]

反函数求导

如果函数单调，可导，那么它的反函数也可导，并且

\[[f^{-1}(x)]\prime=\frac{1}{f(x)\prime} \]

微分和导数

函数的微分dy和自变量法人微分dx之商就是函数的导数（微商）

微分中值定理，拉格朗日中值定理（导数平行）

如果函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，那么在(a,b)上至少存在一点x，使得

\[f(b)-f(a)=f(x)^\prime(b-a) \]

引申到任意弧线，则为柯西中值定理

泰勒公式

\[R_n(x)=\frac{f^{n+1}(x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值定理

偏导数

多元函数求导，固定其中一个变量，对另外一个变量求导，偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率

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不定积分

已知导数，求原函数

\[\int f(x)\, dx=F(x)+C \]

定积分

函数图形上长*宽=面积,[a,b]是积分区间

\[\int_{a}^{b} f(x)\, dx=I=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(x_i)\triangle x_i \]

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

\[\int_{a}^{b} f(x)\, dx=F(b)-F(a) \]

微积分基本定理+微分中值定理=>积分中值定理

微分方程的阶

表示未知函数，未知数，导数之间的关系的方程，出现未知函数最高阶的导数叫做微分方程的阶

二重积分求（多条曲线围成的面积）

把二重积分转化成先对y，后对x的2次积分

三重积分

空间中多个面所围成的封闭空间的体积

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平面方程

• 平面的点法式方程，由平面上的一点M(x,y,z)和它的法向量n=(A,B,C)确定平面，法向量和平面上的直线垂直，数量积为0

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \]

• 平面的截距式方程，abc为平面在xyz轴上的截距

\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \]

• 空间曲线的参数方程

\[\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}\]

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条件概率

事件A已经发生的情况下，事件B发生的概率

\[P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \]

贝叶斯公式

\[P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} \]

离散型随机变量和分布

01分布，伯努利试验和二项式分布，泊松分布

连续性随机变量和概率密度

概率密度是对分布函F(X)数求导

正态分布（高斯分布，Gauss）

若连续随便变量的概率密度为

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}\sigma}e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}} \]

则称X服从参数为u，\(\sigma\)的正态分布，记做X~\(N(u,\sigma^2)\)
当x=u时取得最大值，距离u越远，X落在这个区间上的概率越小

方差和标准差

随机变量和均值的偏离程度

\[D(X)=E( |X-E(X)|^2 ) \]

\[\sigma(X)=\sqrt{D(X)} \]

协方差和相关系数

\[Cov(X,Y)=E\left\{ [X-E(X)][Y-E(Y)] \right\} \]

称为随机变量X和Y的协方差

\[\rho_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} \]

称为随机变量X和Y的相关系数

分位数和箱线图

\[x_{0.25}为第一四分位数,x_{0.75}为第三四分位数 \]

箱线图是由Min,Q1,M,Q2,Max共5个数组成

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转置行列式

\(D^T=D\)

行矩阵和列矩阵

只有一行的矩阵叫做行矩阵，也叫做行向量

方阵的行列式

由n阶方阵A构成的行列式，称为方阵A的行列式，记做
\(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\)

矩阵相乘

矩阵AB相乘，A的列数要等于B的行数，最终结果C为A的行数和B的列数

\[A=(a_{m,s}),B=(b_{s,n}), C=AB=(c_{m,n}) \]

转置矩阵

\[A^T \]

逆矩阵

\[AB=BA=E,B=A^{-1} \]

矩阵的初等变幻

经过有限次的初等变幻之后，矩阵A变成矩阵B，则称矩阵A和B等价，记做A~B

矩阵的秩

A的行阶梯形中非零行的个数