泛函分析笔记

Course 4

C(X, R)

X是定义域；R是值域；C是函数的集合

 

metric space: 度量空间

集合：开集和闭集 （⭐）

 

d(x,y), d可以定义为各种形式，不一定是范数；

不完备：极限不在该集合中，或存在柯西序列不收敛

柯西序列：序列中的值xn, xm，若存在N>n0, 使得d(xn, xm)能够任意小，则该序列为柯西序列

完备：(X,d)如果所有柯西序列收敛

 

Course 5

复向量空间

范数空间 =🔺=三角不等式

d(x,y):=|x-y|

巴拿赫空间: 若(X,d(x,y))是完备的度量空间，则范数空间(X,|*|)是一个巴拿赫空间

Course 6-7

范数：

∥x∥=0 <=> x = 0;

∥λx∥=λ∥x∥;

∥x+y∥ <= ∥x∥ + ∥y∥;

 

巴拿赫空间的例子：(L^p, ∥∥) 是一个巴拿赫空间；(X, |·|) 是巴拿赫空间；

Course 8 内积空间和希尔伯特空间

度量空间：度量距离

范数空间：度量距离，长度

内积空间：度量距离，长度，角度

<x,y> = ∥x∥ ·∥y∥·cos(α)

<·，·>: X * X -> F 是一个内积空间

（1）<x, x> ≥ 0 and <x, x> = 0 <=> x = 0

（2）<x, y> = <y, x> 交换律

（3）<x, y1 + y2> = <x, y1> + <x, y2>

<x, λ·y> = λ · <x, y>

 

⭐Course 9 希尔伯特空间：(X, 内积运算)

性质

• 正定

• conjugate symmetric,

• linear in the 2Nd argument

Question:

希尔伯特空间 巴拿赫空间的区别

1. 内积空间：只要求有内积定义，但不要求完备。

2. 希尔伯特空间：不仅有内积定义，而且要求在内积诱导的范数下是完备的。

希尔伯特空间一定是巴拿赫空间，希尔伯特空间是完备内积空间；任何内积都可以自然地诱导一个范数（？），而这使得希尔伯特空间一定满足范数诱导的度量的完备性，因此它一定是巴拿赫空间；

反之，并不是所有范数都可以由内积诱导，所以巴拿赫空间不一定是希尔伯特空间。

Course 10 柯西-施瓦茨不等式

 

图中，仅在线性相关时 内积=范数乘积

 

Course 11 正交性

Orthogonality 正交性

Let (X, <·，·>) 为一个内积空间

若<u, v> = 0, 则u⊥v

(1) {0}⊥=X, X ⊥={0}

(2) 包含行

(3) 若x⊥y，则有勾股定理 pythagorean theorem，∥x∥^2 + ∥y∥^2=∥x + y∥^2

 

Course 12 连续性 2024.6.14

连续：

 

x ↦ y 逆映射集合是开集

序列连续

⭐Course 13 有界算子（算子范数）

T: X->Y

• 线性变换（保留几何结构）

• 连续（保留拓扑结构)

连续变换=有界变换

 

2.算子范数称为

∥T∥=∥T∥(X->Y) = 

 

 

Course 14 一个计算算子范数的例子

X=(C([0, 1], F), ∥·∥∞)

 

Course 15 Riesz表示定理（6.19）

Riesz是Hilbert空间里一个重要的定理。

核kernel(L)