【数学】泛函分析笔记

2024.2.24

概念：

 

1-3 各空间的定义（概览）

1.度量空间，满足以下性质的非空集

2.赋范空间：

定义了范数；非负性；齐次性：||ax|| = |a|·||x||；

满足三角不等式

3.巴拿赫空间：

定义了范数，增加了完备性；

4.内积空间：

是赋范空间，且定义了内积（2-范数）

满足交换律；

满足线性关系：<x, y1 + y2> = <x, y1> + <x, y2>； <x, λ·y> = λ · <x, y>

5.希尔伯特空间

是内积空间，不仅有内积定义，而且其在内积诱导的范数下是完备的。

 

开集和闭集:

开集和闭集：开集无边界（严谨定义是用开球，即在赋予了范数或度量结构的空间中，集合 (U) 是开的，如果对于每个 (x ∈ U)，存在一个正数 (r)，使得所有与 (x) 的距离小于 (r) 的点都在 (U) 中）

补集是开集的集合称为闭集。

（⭐）注：这些空间的集合都可以拓展到复数，但是一般为了简化讨论，可以仅仅限制在实数的讨论里

 

Course 4 序列、极限和闭集

C(X, R)

X是定义域；R是值域；C是函数的集合

集合：开集和闭集 （⭐）

紧集：若一个集合它不仅是闭集还是有界的，则该集合被称作紧集；每个开覆盖都含有有限的子覆盖

柯西序列：序列中的值x_n, x_m，若存在N>n0, 使得d(x_n, x_m)能够任意小，则该序列为柯西序列

完备：对于空间 (X,d)，如果所有柯西序列收敛

不完备：极限不在该集合中，或存在柯西序列不收敛

 

Course 5 柯西序列和完备空间

复向量空间

赋范空间 => 三角不等式

d(x,y):=|x-y|

巴拿赫空间: 若(X,d(x,y))是完备的度量空间，则范数空间(X,|*|)是一个巴拿赫空间

Course 6-7

范数：

∥x∥=0 <=> x = 0;

∥λx∥=λ∥x∥;

∥x+y∥ <= ∥x∥ + ∥y∥;

 

巴拿赫空间的例子：(L^p, ∥∥) 是一个巴拿赫空间；(X, |·|) 是巴拿赫空间；

Course 8 内积空间和希尔伯特空间

度量空间：度量距离

范数空间：度量距离，长度

内积空间：度量距离，长度，角度

<x,y> = ∥x∥ ·∥y∥·cos(α)

<·，·>: X * X -> F 是一个内积空间

（1）<x, x> ≥ 0 and <x, x> = 0 <=> x = 0

（2）<x, y> = <y, x> 交换律

（3）<x, y1 + y2> = <x, y1> + <x, y2>

<x, λ·y> = λ · <x, y>

⭐Course 9 希尔伯特空间

性质

• 正定

• conjugate symmetric（共轭对称）

• linear in the 2Nd argument（第二变元的线性）

Question:

希尔伯特空间 巴拿赫空间的区别

1. 内积空间：只要求有内积定义，但不要求完备。

2. 希尔伯特空间：不仅有内积定义，而且要求在内积诱导的范数下是完备的。

希尔伯特空间一定是巴拿赫空间，因为希尔伯特空间是完备的内积空间，而内积空间是赋范线性空间的特例；巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，所以希尔伯特空间必然是巴拿赫空间。

反之，并不是所有范数都可以由内积诱导，所以巴拿赫空间不一定是希尔伯特空间。

 

Course 10 柯西-施瓦茨不等式

 

图中，仅在线性相关时 内积=范数乘积

 

Course 11 正交性

Orthogonality 正交性

Let (X, <·，·>) 为一个内积空间

若<u, v> = 0, 则u⊥v

(1) {0}⊥=X, X ⊥={0}

(2) 包含行

(3) 若x⊥y，则有勾股定理 pythagorean theorem，∥x∥^2 + ∥y∥^2=∥x + y∥^2

 

Course 12 连续性 2024.6.14

连续性的定义：

 

即x ↦ y 的逆映射集合是开集

序列连续：一个映射是序列连续的，如果对于任意极限为x的序列，其映射的极限为f(x)

 

在度量空间里，连续等价于序列连续（需证明）

 

⭐Course 13 有界算子（算子范数）

T: X->Y

• 线性变换（保留几何结构）

• 连续（保留拓扑结构)

连续变换=有界变换

 

2.算子范数

 

Course 14 一个计算算子范数的例子

X=(C([0, 1], F), ∥·∥∞) (略）

 

Course 15 Riesz表示定理（6.19）

Riesz定理是Hilbert空间里一个重要的定理。

核kernel(L)

里斯表示定理:在希尔伯特空间中，如果f是一个连续线性泛函，那么存在唯一的向量y，使得对于所有向量x，都有： f(x)=⟨x,y⟩。（即这种泛函的映射均可以表示为内积）

其中，⟨⋅,⋅⟩表示希尔伯特空间中的内积。

Course 16 紧集

(X,d)对于一个度量空间，若对于A的任意子序列{xn}，可以找到一个收敛的子序列{xnk}，

则A是紧集

回顾：闭集

 

Course 17 Arzela-Ascoli 定理

若度量空间为紧集，则其子集必为闭集和有界的。

 

Course 18 紧算子

紧的有界linear算子

紧算子定义：若X, Y是normed spaces，B(0)为单位球，有界算子T: X->Y

在T[B(0)] ⊆ Y且为紧集时，称有界算子T为紧算子；

 

1. 有限秩：T的像空间𝑇(𝑋)是有限维的。

2. 紧性：对于X中的任意有界序列{𝑥𝑛}，序列{𝑇(𝑥𝑛)}在𝑌中有一个收敛的子序列。

 

Course 19 Holder不等式

Hölder共轭 

Hölder不等式：左边是xy的积，右边是x和y的两个范数之积；

 

Young's 不等式

对Holder共轭，

 

概念

一致连续：uniformly continuous

Course 20 Minkowski不等式（7.30）

闵可夫斯基不等式

 

（⭐）p>1：略

总结：对于p>=1, p的范数满足三角不等式

Course 21 同构

定义：

Isomorphism 同构

Homomorphism 同态

Isomorphism = Homomorphism + bijective + inverse map is also homomorphism

同构 = 同态 + 双射 （bijective）+ 逆映射也是同态的

（⭐）Course 22 对偶空间

对偶空间：每个线性泛函 f都对应于 V中的一个向量 v，使得对于 V中的任何向量 x，都有 f(x)=⟨v,x⟩，其中 ⟨⋅,⋅⟩表示内积。

　　在这种情况下，v被称为 f 的对偶向量。所有的f线性泛函构成对偶空间 V∗。

命题: 若 X 为一个赋范空间（normed space). 则 X'（X的对偶空间） 是一个巴拿赫空间。

 

Course 23 对偶空间的例子

共轭空间

例子：X是赋范空间；X'是其Holder共轭的对偶空间；

X' := {L: X -> F | L is linear + bounded}

证明

1.T是well-defined的

2.T是linear的

3.T是bounded的

4.surjective：满射 (用到了连续性和线性)

5.iosmetric：等距同构 ( ∥Tx∥ =∥x∥ for all x ∈L^(p')(N) )

Course 24 一致有界定理/Banach-Steinhaus定理

巴拿赫-斯坦豪斯定理

 

Course 25 Hahn Banach Theorem

赋范空间的Hahn Banach定理（还有其他形式的）

 

 

X'是X的对偶空间。

换句话说，Hahn-Banach定理保证了在子空间上定义的任何连续线性泛函u'，都可以找到对偶空间的一个线性泛函，保持与u'相同的形式，以及相同的算子范数。

根据定义，对偶空间的算子范数为：

 

一些推论：∥x∥x = sup{|x'(x)| | x' ∈ X', ∥x'∥=1} (算子范数等于在对偶空间的范数为1的时候，其对偶空间的最小上界)

Course 26 开映射定理

开映射： open mapping，表示映射 T 将 X中的开集映射为 Y 中的开集。

开映射定理: X, Y是Banach 空间，T是X到Y的有界线性算子，即T ∈ B(X, Y)，若T是满射的，则T是一个开映射。

反例：若 T:　y = x^2, x ∈ (-2, 2)，则 T 虽然是满射，但不是开映射，因为y=[0, 4)，不是开集；（T不是有界线性算子，存疑）

 

Course 27 逆算子定理

有界逆定理：X, Y是Banach 空间，T是X到Y的有界线性算子，即T ∈ B(X, Y)，

则若 T 是双射的映射，那么 T^(-1) ∈ B(Y, X) 是一个连续算子

 

Course 28 谱理论1：有界算子的谱

 

kernel

在线性代数中，若A为nxn的矩阵，λ为A的特征值

则(A - λ I)x = 0，且 <=> ker(A - λI) ≠ {0}

其中ker指与A-λI相乘为0的向量

秩-零化度定理

dim( ran(M) ) + dim( ker (M) ) = n；值域的维数+核的维数=n

X be a complex Banach space, T: X -> X is bounded linear operator.

定义：

spectrum:一个算子的特征值集合，翻译为“谱”或“特征值谱”。

resolvent set: 解析集

bounded：

 

前置知识：ran；bounded的定义；双射、单射、一一映射

Course 29 谱理论2：乘法算子的谱

复空间内

(c) λ |-> (T - λ)^(-1) 是analytical的（在复分析中，一个复函数如果在其定义域内的每一点都可展开为收敛的幂级数，那么这个函数被称为解析函数。）

 

Course 30 谱理论3：谱的性质

ρ(T)是使得(T-λI)不可逆的所有λ；是开集

σ(T)是使得(T-λI)可逆的所有λ；是闭集

σ(T)为谱；ρ（T）为解集；

 

 

Course 31 谱理论4：谱的性质

谱半径（针对T变换而言）

r(T) :=sup|λ|

X 是复Banach 空间，

Course 32 谱理论5：正规和自伴算子

normal operator 正规算子的定义 r(T) = ∥T∥

adjoint operator伴随算子

References

[1]泛函分析 https://www.bilibili.com/video/BV1aX4y1V7Tf

[2]中文数学_Wiki https://math.fandom.com/zh/wiki/

[3]泛函分析中的反例 汪林 著；1994年，高等教育出版社

[4]泛函分析，理论和应用, Haim Brezis著，叶东，周风 译 Analyse Fonctionnelle——Theorie et applications, 2009 Springer