CF1631C And Matching

思路分析

首先我们设 $c(i)$ 为在 $i$ 的二进制表示下，按位取反的结果，

例如：$c(50)=c((110010{)}_2)=(001101{)}_2=13$，

显然 $c(i)=(n-1)-i$，

因为 $c(i)$ 是 $i$ 按位取反的结果，所以 $c(i)\mathrm{\&}i=0$

回到原题，我们分 $3$ 种情况：

1. $k=0$，那我们将 $c(i)$ 与 $i$ 进行配对，总和为 $\sum _{i=0}^{n/2-1}c(i)\mathrm{\&}i=0$
2. $1\le k\le n-2$，将 $c(i)$ 与 $i$ 进行配对，考虑把 $0,k,c(k),n-1$ 提取出来，将 $k$ 与 $n-1$ 配，$k\mathrm{\&}(n-1)=k$，$0$ 与 $c(k)$ 配，$0\mathrm{\&}c(k)=0$，故总和为 $k$，
3. $k=n-1$，将 $c(i)$ 与 $i$ 进行配对，考虑把 $0,1,2,(n-3),(n-2),(n-1)$ 提取出来，$(n-1)$ 与 $(n-2)$ 配对，$(n-1)\mathrm{\&}(n-2)=(n-2)$，$1$ 与 $(n-3)$ 配对，由于 $(n-3)$ 是奇数，所以 $1\mathrm{\&}(n-3)=1$，再将 $0$ 与 $2$ 配对，结果为 $0$，那么总和为 $(n-2)+1+0+\cdots +0=(n-1)$

注意：在第 $3$ 种情况中，要有至少 $6$ 个数才可以做，所以当 $n=4,k=3$ 时是无解的（样例有）。

这样我们就把题目做完了，复杂度 $O(n)$

代码环节

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

const int maxn = (1 << 20);
int a[maxn], b[maxn];

int c (int x, int n) {
    return (n - 1) - x;

int main() {
    int T; scanf ("%d", &T);
    while (T --) {
        int n, k; scanf ("%d%d", &n, &k);
        if (k == 0) {
            for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
                a[i + 1] = i; b[i + 1] = c(i, n);
            }
        } else if (k > 0 && k < n - 1) {
            a[1] = 0; b[1] = c(k, n);
            a[2] = k; b[2] = n - 1;
            int cnt = 2;
            for (int i = 1; i < n / 2; ++i) {
                if (i == c(k, n) || i == k) continue;
                a[++cnt] = i; b[cnt] = c(i, n);
            }
        } else {
            if (n == 4) {
                printf ("-1\n"); continue;
            }
            a[1] = 0; b[1] = 2;
            a[2] = 1; b[2] = n - 3;
            a[3] = n - 2; b[3] = n - 1;
            for (int i = 3; i < n / 2; ++i) {
                a[i + 1] = i; b[i + 1] = c(i, n);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n / 2; ++i) {
            printf ("%d %d\n", a[i], b[i]);
        }
    }
    return 0;
}