平均场理论
平均场理论的了解
本文转自：科学网—平均场方法及其它 - 周达的博文
对一篇博士论文里所用理论的了解
百度百科了解：
平均场理论（Mean Field Theory, MFT）是将随机过程模型中一个单体受到的所有影响近似为一个外部场（external field），从而将多体问题（many-body problem）分解为多个单体问题（one-body problem）进行求解的范式和理论。
平均场理论，是把环境对物体的作用进行集体处理，以平均作用效果替代单个作用效果的加和的方法。这一方法，能简化对复杂问题的研究，把一个高次、多维的难以求解的问题转化为一个低维问题，相当于把环境对研究对象的影响进行积分后再与研究对象发生作用，多用于运动状态混乱的气体，以及结构复杂的固体、液体的研究中，并构成了能带论、现代固体理论、量子多体理论等理论的重要的基础。尽管平均场理论带来了研究的便利，但是由于积分过程会掩盖掉环境中个别影响因素的涨落，因此在非平衡过程，强关联系统，以及瞬态过程中，平均场理论会带来巨大的误差。
知乎get：如何向非物理专业的学生解释「平均场理论」？ - 知乎 (zhihu.com)
用通俗的语言解释一下，
假设有一个很大很大的教师，里面坐着很多很多的学生,然后这些学生都在晨读,你是这些学生中的某一位。你听到的声音是所有学生发出的声音到你这个位置的叠加,显然这个求和很复杂，因为你的听觉感受与声源到你的距离有关。为了简化这个求和,我们把这所有学生的声音在你这个位置产生的效果看作噪音。
如果这个教室真的足够大（衡水中学的教室挺大的）,大到我们可以忽略边界效应。现在,换一个场景,如果所有学生依然保持战斗队形(继续晨读),你现在是一位老师，在教室里巡视。然后无论你走到哪里，你的听觉感受是样一样的。这个噪音在任何位置都一样，无论你往前走一步还是往右走一步都—样,这就是平移不变性。这个时候,噪音和一个均匀外场产生的效果一样,这个噪音就是平均场
平均场是物理，特别是统计物理中非常重要的一种理论分析方法。有意思的是，几乎学统计物理的老师同学都知道平均场的适用条件是严格甚至苛刻的，历史上也有著名的科学案例（诸如Ising模型的相变问题）明确警示了滥用平均场方法的不良后果，但大家就是难以割舍这种好方法。特别在复杂网络的研究中，绝大部分的理论分析都是采用了平均场的方法。
讨论平均场，真实的反映了物理学家和数学家之间学术标准的差异。数学上说，平均场的适用范围只能是完全图，或者说系统结构是well-mixed，在这种情况下，系统中的任何一个个体以等可能接触其他个体。所以，对于明确的不满足完全图情况的问题，数学家只能去想其它办法，哪怕是“四处碰壁，举步维艰”，数学家始终坚守数学的严格性。反观物理，平均场与其说是一种方法， 不如说是一种思想。其实统计物理的研究目的就是期望对宏观的热力学现象给予合理的微观理论。较为一致的认识是：系统中个体的局部相互作用可以产生宏观层面较为稳定的行为。所以，物理学家坚信，即便不满足完全图的假设，但既然这种“局部”到“整体”的作用得以实现，那么个体之间的局部作用相较于“全局”的作用是可以忽略不计的。这或许就是物理学家不轻易否定平均场的根据。更重要的，恐怕还是平均场方法便于使用。基本上，熟悉常微分方程的人都具备掌握平均场方法的能力。这也降低了分析的门槛。某种程度上，是一件好事。而且，实验也证明，很多时候，这种方法得出的结果跟实际也匹配。
其实复杂网络，抽象来看，就是一大类特殊的图。而且，肯定不是完全图。早在复杂网络兴起之前，理论科学界就知道“空间结构”对于系统动力学行为的影响。最典型的，比如格点图上的Ising模型，也正是对于二维Ising模型相变问题的研究，平均场这种方法才露出明显的破绽。那时，是一种叫重整化群的方法，圆满的回答了二维Ising模型的相变问题。可以想象，那种方法的技巧是很强的，或许也是因为此，这种方法并未被广泛使用。还有一类典型的例子，就是生态学中讨论物种演化的时候，很多生物数学家很早就在讨论空间结构的问题。推荐Durrett教授和Levin教授合写的文章The importance of being discrete。google一下就出来了。
刚才讲到平均场，从数学上对应常微分方程。如果您已经意识到平均场的局限性，那么我们是否有更合理的建模方法？答案当然是有的。我知道的比较重要的有两大类：第一类是叫做反应扩散方程(reaction-diffusion equations)，另一类叫做相互作用粒子系统(interacting particle systems)。其中，反应扩散方程是利用偏微分方程的办法，讨论连续时间、连续状态情形的动力学问题。很多时候，学者就直接在原有的平均场方程基础上，加上一个laplcae算子，改装后的方程就是加入了“spatial effects”的反应扩散方程。至于粒子系统，它跟反应扩散方程最大的区别在于，它讨论离散随机模型。简单说，就是系统中有很多相互关联的粒子，粒子状态的演化受到了周围粒子状态的影响。所以，粒子系统跟cellular automata的本质是类似的。
当然，这里说得天花乱坠，必须提醒大家的是这两种建模的方法，其数学分析上的难度是大大超出平均场方程的。数学上，偏微分方程的分析和求解历来是研究的重点和难点；而粒子系统，因为我专业的原因，深知其研究的难度。我导师的导师，UCLA的Liggett教授，是这个领域的权威之一，他的著作interacting particle systems被誉为该领域的“圣经”，如果大家有兴趣，可以看一看。只不过阅读的难度很大。我本人只有幸坚持读了前三章。
所以，在讨论空间结构的时候，其实是有办法把工作做得精细一些。只不过，天下没有免费的午餐，好的建模方法随之带来分析上的难度。虽然，我个人从专业背景角度，是期望平均场不被滥用的，但从心底还是愿意承认这种方法的价值。并且，就实际问题而言，平均场的假设不仅是没有办法的办法，更是一种智慧。比如，我相信在微观粒子层面，大量粒子杂乱的无规则运动，还有比平均场更好的假设吗？关乎这种观测局限的问题，恐怕目前没有更好的办法。
找到一本书籍介绍的：
《复杂系统与复杂网络》
花了2块买了一本，附上：
链接：https://pan.baidu.com/s/1kT3RLOhWImGqXEQTkS6BFw
提取码：q608
