一题踏过交换积分次序的坑

本题是对2007年真题的改编，真题形式为选择题，故有相对提示，改成填空题后，便看似简单实则复杂，对于交换积分次序类型题目，只需要小心两点：①上限下限是否故意颠倒 ②反函数是否正确

先画出给出形式的图像，大致如下：

由题目给定顺序先x后y穿线，判断上下限顺序是否颠倒：

显然要进行分段：

由图像观察在π到2π这一段y的顺序颠倒了，故需要修改：

此时顺序修改正确，开始交换积分次序，即先y后x穿线：

这里必须对arcsinx与sinx有所了解了：

①不单调的函数没有反函数

②arcsinx只是sinx在(-π/2,π/2)上的反函数，即arcsin(sinx)=x

打个比方：

对于本题有(自推)：

那么本题结果为：