无条件极值与条件极值
总结了一天，必须掌握的是基础概念和条件极值的拉格朗日乘数法，剩下一切就是计算了！
本类题几乎年年必考，今年很大可能考条件极值。本次总结思路为主，计算量过大，故略。
一、无条件极值
该问题相对简单只需注意以下两类问题
1、概念判断
如何方便记忆？
例题（1）
由题意易得f(0,0)=0
（1）
（2）
方法与（1）一致，凑出可微定义式即可。同样成立
（3）、（4）
运用放缩思想即可，如果不会也可以运用脱帽法
故由定义可知，在(0,0)处一定取得极小值
例题（2）
同理对分母进行放缩即可，再有保号性和定义即可判断
2、常规计算
例题（1）
这个称之为常规计算，类比2020无条件极值只是单纯考验计算
只需要注意：多元函数在有界闭区域（闭区域指包含边界的区域）也一定具有最值；且在区域内部的最值一定为极值。
对于本题第一问常规计算即可。
对于第二问，我们会进行判断，因为区域内部最值一定为极值，而由（1）（这里略去计算，很简单）内部没有极大值，故得出最大值一定在边界取。再取边界上任意值（如（0，-2）和（1）中极小值比较）即可。综上，可以得出最值一定在边界取得。
例题（2）
毫无技巧可言，就是隐函数求偏导+计算
例题（3）
这个称之为转化思想计算，即在一定程度上将二元化为一元，精简计算量，只做学习。
按步骤求解会得到两组解①(x,y)=(0,0) ②x2+y2=1
再对①进行判断时，从定义入手，会立刻判断出为极小值
而对②进行判断时，如果再去求二次偏导就太麻烦，不妨令x2+y2=t转化为一次函数求导来判断
二、条件极值
该类问题是今年的重点，难点就在于①找出限制条件②构造λ的目标函数③计算
①对于限制条件：
一般就是题目给出或者实际问题条件转化
②对于目标函数构造：
学会灵活变通，这样会精简计算
③计算：
对于求解拉格朗日乘数法，要学会作差和作商，及一定线性代数、极坐标的运算方法
1、常规计算
介绍简单的计算，只考察对区域内部和边界进行判断，然后就是计算
例题（1）
算出f(x,y)表达式后，本道真题仍是纯计算，不过就是需要分类讨论一下，先由无条件极值计算区域D内部极值，再由条件极值，构造，算出D边界的极值，当然对于本问，令x=cost、y=2sint进行计算会更加快速。
例题（2）
仍是无条件极值计算区域D内部极值；对于D边界，本题较为特殊，单独考虑x轴、y轴和x+y=6，这里x轴、y轴判断较为简单，对于x+y=6，比较特殊，可以将该条件代入f(x,y)化为一次函数，求导判断极值。
当然上述两题，方法单一，目标明确，就是单纯计算量极大。
2、应用
比较考察计算和函数的构造，以及对几何知识的了解（比如：点到面的距离、开口水箱表面积、切线法线、椭球内接长方体等等）
例题（1）
本题还是双条件极值，但不难，难在对函数的构造
大体图像如上，，点到平面距离可想而知就是|z|，但是如果求偏导岂不是不存在，此时我们就需要构造F=z2+λ(...)+u(...)的函数，最后对得出的结果开方即可。
例题（2）
本道题就是对给出条件进行分析了，假设分为三段为x、y、z，那么限制条件就是x+y+z=2，而面积需要先由x、y、z从周长得出边长在计算，最难的仍是后面大量的计算。【本题运用柯西不等式可以秒解，但考试貌似是不能运用，故此不写了】
3、特殊计算
我做了李永乐的历年真题集的多元函数极值问题章节，感觉此类问题涉及的压根没有，而是别的辅导书上有过出现。可能是考研就是单纯想考对这一块的应用，而非计算上的花里胡哨。当然看看也无妨。
例题（1）
本题原题干有限制必须运用条件极值（我没截图），但是运用条件极值，首先限制条件不好想，其次计算量也不小，感兴趣可以计算一下，这里是令(x+y+z)/6=a为限制条件，构造F=xy2z3-λ[(x+y+z)/6-a]
本题如果没限制，还可以运用基本不等式：
例题（2）
本题重点在于对f(x,y)有唯一驻点的理解，先看答案：
将本话转为方程唯一解，即行列式不为0，考察一定的线代知识。
例题（3）
本题解法在于如何使用最值均满足该方程这个条件，分为两个方法：
法一：直接构造求解，挤牙膏算就行（结合了一些线性代数的知识）
法二：构造二次型，避开繁杂的计算（只做学习即可，但同济教材有该类型题目）
以下是老师单独讲的一道10年数三真题：运用三种方法求解，包含二次型的讲解：
