二叉树的结点计算题

二叉树的性质：

• 非空二叉树上叶子结点数等于双分支结点数加1【n₀=n₂+1】
• 非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点
• 高度h的二叉树最多有2^h-1个结点
• 编号为i的结点，左孩子编号2i，右孩子编号2i+1
• n个结点的完全二叉树高度为log₂(n+1)或[log₂n]+1
• 总结点数=总分支数（所有结点度之和）+1

1、一颗有n个结点的树的所有结点的度数之和为多少？

所有结点度数之和=n-1

2、已知一颗完全二叉树的第6层（设根为第1层）有8个叶子结点，则该完全二叉树的结点个数最多是多少？最少是多少？

已知：完全二叉树叶子结点只可能在最下两层

结点最多情况：1~6层构成满二叉树，则其结点总数（该满二叉树）为2⁶-1=63个

第6层有2^6-1=32个

其中，有8个叶子结点，则32-8=24个非叶子结点

非叶子结点有2个孩子（考虑最多）均在第7层为叶子结点

第7层有2×24=48个叶子结点

(总结点个数)_max=48+63=111个

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结点最少情况：第6层为倒数第1层

1~5层构成满二叉树，结点总数2⁵-1=31个

其中，第6层为8个叶子结点

(结点总个数)_min=31+8=39个

3、一颗有124个叶子结点的完全二叉树最多有多少个结点？

2^7-1=64,2^8-1=128,结论：完全二叉树不是满二叉树，因此完全二叉树有8层，除去底层，此二叉树有2⁷-1=127个结点

设n为最底层结点个数。则：

n为偶数，n+64-n/2=124,n=120,则此树共有127+120=247个结点

n为奇数，n+64-(n+1)/2=124,n=121,则此树共有127+121=248个结点

4、具有1000个结点的完全二叉树的次底层的叶子结点个数为多少？

由log₂(n+1)可以算出：1000个结点的完全二叉树有10层

该树上面9层是满的，有2⁹-1=511个结点

由n₀=n₂+1，n₀+n₂为奇数，当n为偶数时，n₁=1

所以，n=n₀+n₁+n₂=2n₀-1+n₁=1000 得出n₀=500

其中，有1000-511=489分布在第10层，11个分布在第9层

所以，次底层叶子结点个数为11

5、若在一颗完全二叉树中对所有结点按层次自上向下，同一层次自左向右进行编号，根结点编号为0，现有两个不同的结点，它们的编号为q和p，那么判断它们在同一层的条件应该是？

按照公式，编号为i（从0开始）的结点所在层号为log₂(i+1)

当两个结点位于同一层，就有[log₂(p+1)]+1=[log₂(q+1)]+1,即[log₂(p+1)]=[log₂(q+1)]

若编号从1开始，则[log₂(p)]=[log₂(q)]

6、含有60个叶子结点的二叉树的最小高度为多少？

n₀=60 ,n₂=n₀-1=59

n=n₀+n₁+n₂=119+n₁

当n₁=0为完全二叉树，高度最小

h=log₂(n+1)=log₂120=7

所以最小高度为7

7、已知一颗满二叉树结点个数为20~40，此二叉树叶子结点有多少个？

已知：一颗满二叉树结点个数为2^h-1

即20≤2^h-1≤40

h=5

则叶子结点在最底层为：2^5-1=16个