2020半年的最后一天

刚刚结束了大学的全部考试（2020半年的最后一天），最后一门是信号系统答辩，历时整整一天，没错且是讲课并非笔试，心里忐忑不安，因为也没有好好学这门学科，后面老师问的都答的尴尬，幸好这段时间数学长进了，用数学归纳法给他说了下我对卷积对位相乘求解的见解，等会分享一个关于卷积特别形象的故事，然后我和老师坦白我说要考计算机数据结构，老师也挺支持，希望给我个不上不下的分数吧，这里也特别佩服我那些考通信或者信工研究生的同学，模电数电信号系统，加油吧！

总之，明天暑假就来了（不，考研生不配暑假），全面开始复习，努力提升数学、专业课知识。不骄不躁，努力前行！

卷积的故事:——找自知乎深处（链接被我搞丢了）

卷积说的是什么？

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话说有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！隔现在，注册个微博账号随便找个流量明星就能开撕啊 ——那时候不行，还没有微博一说，他自然想到了他的行政长官——县令。
于是在光天化日之下，无赖站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知，这是明目张胆的藐视公堂无视法律啊，自然被请进大堂挨了一板子——这无赖身体也是好，挨了板子后居然昂首挺胸回家了。躺了一天，嘿！身上啥事也没有！无赖在这件事上的决心还很大，第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！

县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？......想当初，本老爷可是因为奥数加分才金榜题名的，今天要好好建个数学模型，好歹要解决这个问题，挽回一点面子：
——人（系统！）挨板子（冲击！）以后，会有什么表现（输出！）？
——废话，疼呗！
——如何量化呢？
——看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不会有，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉强哼出声来；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能——死啦！
县令双手捧腮，若有所悟，拧紧的眉头渐渐松弛下来：
——呜呼呀！为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命，而一次连续打上三十个大板呀？
—— 呀呼嘿，打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？
——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献，总的来说：
t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)

请看下图：

先考虑挨两板时是什么情况：把挨板子时的疼痛响应用 来表示，其中 表示持续时间。当刚挨最新一板子时，响应显然为 即 ，那相隔 之前还有一板子呢？响应是 ，所以挨两板子时总的疼痛定义为每板子的响应乘以持续时间：

实际上两板子不可能完全一样，今天是士兵甲打的，明天是士兵乙，两个力道完全不在一个层级上啊，怎么办？需要修正一下要把激励的大小也考虑进去：

要是碰上一个身强力壮，心情又不好的士兵呢？连续不停地打，这时可怜的无赖只能祈求上帝了：

当 时，有

如果把积分时间扩展到负半轴，

这就是卷积公式，它本质上说系统（人）在连续激励下（挨板子）所的得到的结果（疼）。翻译的学术一点：卷积将是过去所有连续信号经过系统的响应之后得到的在观察那一刻的加权叠加。而现实生活中，我们就是要解大量的这种问题，这也就是为啥卷积这么常见这么重要的原因。