高数基础知识整理2.极限
二、极限
1、极限的定义
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① 数列极限的定义
对于数列{Xn},常数a,若对∀ε>0,∃正整数N,当n>N时,有|xn-a|<ε,则称a为{xn}的极限,或者称{xn收敛于a},记为 $$\lim\limits_{x \to ∞ }x_n=a$$ -
② 当 x→∞时 f(x)的极限
若存在常数A,∀ε>0,∃正数X,当|x|>X时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→∞时的极限,记为 $$\lim\limits_{x \to ∞ }f(x)=A$$ -
③ 当 x→x0(x0为有限值) f(x)的极限
若存在常数A,∀ε>0,∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→x0时的极限,记为 $$\lim\limits_{x \to x_0 }f(x)=A$$ -
④ 当 x→x0时 (x0为有限值) f(x)的左右极限
若存在常数A,∀ε>0,∃δ>0,当0<x-x0<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→x0时的右极限,记为\[\lim\limits_{x \to x_0^+ }f(x)=A或f(x_0+0)=A \]若存在常数A,∀ε>0,∃δ>0,当0<x0-x<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→x0时的左极限,记为
\[\lim\limits_{x \to x_0^- }f(x)=A或f(x_0-0)=A \]
2、数列极限的基本性质
- ① 极限的唯一性
如果{xn}收敛,那么它的极限唯一。 - ② 收敛数列的有界性
如果{xn}收敛,那么{xn}一定有界。 - ③ 收敛数列的保号性
如果 $$\lim\limits_{n \to \infty }x_{n}=a$$ ,且a>0(或a<0),那么∃正整数N,当n>N时,都有xn>0(或xn<0)。- 推论1
如果 $$\lim\limits_{n \to \infty }x_{n}=a $$ , $$\lim\limits_{n \to \infty }y_{n}=b $$ ,且a>b,那么∃正整数N,当n>N时,xn>yn。 - 推论2
如果∃正整数N,当n>N时,xn≥0(或xn/≤0),$$\lim\limits_{n \to \infty }x_{n}=a $$,那么a≥0(或a≤0)。
- 推论1
- ④ 收敛数列与其子数列间的关系
如果{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a。
3、函数极限的基本性质
- ① 极限的唯一性
如果 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ , $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=B$$ ,那么A=B。 - ② 函数极限的局部有界性
如果 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ ,那么∃δ>0,f(x)在{x|0<|x-x0|<δ}内有界。 - ③ 函数极限的局部保号性
如果 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ ,而且A>0(或A<0),那么∃常数δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0)。
如果在x0的某空心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ ,那么A≥0(或A≤0); - ④ 函数极限与数列极限的关系
如果 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ 存在,{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足xn≠x0,那么 $${f(x_n)}$$必收敛,且 $$\lim\limits_{n \to ∞}f(x_n)=A$$ 。 - ⑤ 复合函数的极限
设y=f(u)在点u=a处连续,又 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }φ(x)=a$$ ,则 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f[φ(x)]=f(a)$$ 。
4、无穷小量与无穷大量
4.1 定义
- 无穷小量
如果 $$\lim f(x)=0(x→x_0 或 x→∞)$$ ,那么称函数f(x)为(当x→x0或x→∞时的)无穷小量。 - 无穷大量
如果 $$\lim f(x)=∞(x→x_0 或 x→∞)$$ ,那么称函数f(x)为(当x→x0或x→∞时的)无穷大量。
4.2 性质
- 性质 1\[\lim f(x)=A \Leftrightarrow A+α(x) ,其中α(x)是(x→x0或x→∞)无穷小量 \]有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;
有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量;
无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量;
4.3 无穷小量的比较
设在自变量x的同一变化过程中(如x→x0或x→∞), α(x),β(x) 都是无穷小:
如果 $$lim\frac{α(x)}{β(x)}=0$$ ,则称α(x)是β(x)的 高阶无穷小 ,记作 $$α(x)=ο(β(x))$$ 。
如果 $$\lim\frac{α(x)}{β(x)}=∞$$ ,则称α(x)是β(x) 的 低阶无穷小 。
如果 $$\lim\frac{α(x)}{β(x)}=c(c≠0)$$ ,则称α(x)与β(x)是 同阶无穷小 。
如果 $$\lim\frac{α(x)}{β(x)}=1$$ ,则称α(x)与β(x)是 等阶无穷小 ,记作 $$α(x)∼β(x)$$ 。
如果 $$\lim\frac{α(x)}{β(x)^{k}}=c(c≠0)$$,则称α(x)是β(x)的 k阶无穷小 。
- 等价无穷小替换定理
设在自变量x的同一变化过程中, α1(x) , α2(x) , β1(x) , β2(x) 都是无穷小,而且α1(x) ~ α2(x),β1(x) ~ β2(x),如果 $$\lim\frac{α_{2}(x)}{β_{2}(x)}=A$$ ,则 $$\lim\frac{α_{1}(x)}{β_{1}(x)}=\lim\frac{α_{2}(x)}{β_{2}(x)}=A$$ 。
4.4 常用等价无穷小
当x→0时,有
\((1+x)^m−1∼mx\)
5、极限的四则运算
6、极限存在的判别方法
- ① 单调有界定律
单调增加(或单调减小)且有上界(或有下界)的数列{xn}必有极限 - ② 夹迫定律
如果数列{xn},{yn},{zn}满足下列条件:yn≤xn≤zn(n=1,2,⋅⋅⋅) $$\lim\limits_{n \to \infty }y_{n}=a,\lim\limits_{n \to \infty }z_{n}=a$$ ,那么数列{xn}的极限存在,且 $$\lim\limits_{n \to \infty }x_{n}=a$$