图的应用（四）——关键路径
关键路径就是求源点到汇点的最长路径
一、AOE网
AOE网是在 AOV网的基础上，其中每一个边都具有各自的权值，是一个有向无环网。其中权值表示活动持续的时间
如上图所示就是一个 AOE 网，例如 a1=6 表示完成 a1 活动完成需要 6 天；
AOE 网中每个顶点表示在它之前的活动已经完成，可以开始后边的活动，例如 V5 表示 a4 和 a5 活动已经完成，a7 和 a8 可以开始。
使用 AOE 网可以帮助解决这样的问题：如果将 AOE 网看做整个项目，那么完成整个项目至少需要多少时间？
解决这个问题的关键在于从 AOE 网中找到一条从起始点到结束点长度最长的路径，这样就能保证所有的活动在结束之前都能完成。
起始点是入度为 0 的点，称为“源点”；结束点是出度为 0 的点，称为“汇点”。这条最长的路径，被称为”关键路径“，关键路径上的活动称为关键活动
二、关键路径
关键路径就是求源点到汇点的最长路径
为了求出一个给定 AOE 网的关键路径，需要知道以下 4 个统计数据：
- 对于 AOE 网中的顶点有两个时间：最早发生时间（用 Ve(j) 表示）和最晚发生时间（用 Vl(j) 表示）；
- 对于边来说，也有两个时间：最早开始时间（用 e(i) 表示）和最晚开始时间（ l(i) 表示）。
最早发生时间Ve(j)：对于 AOE 网中的任意一个顶点来说，从源点到该点的最长路径代表着该顶点的最早发生时间，通常用 Ve(j) 表示。
例如，上图中从 V1 到 V5 有两条路径，V1 作为源点开始后，a1 和 a2 同时开始活动，但由于 a1 和 a2 活动的时间长度不同，最终 V1-V3-V5 的这条路径率先完成。但是并不是说 V5 之后的活动就可以开始，而是需要等待 V1-V2-V5 这条路径也完成之后才能开始。所以对于 V5 来讲，Ve(5) = 7。
最晚发生时间Vl(j)：表示在不推迟整个工期的前提下，事件 Vk 允许的最晚发生时间。
例如，上图中，在得知整个工期完成的时间是 18 天的前提下，V7 最晚要在第 16 天的时候开始，因为 a10 活动至少需要 2 天时间才能完成，如果在 V7 事件在推迟，就会拖延整个工期。所以，对于 V7 来说，它的 Vl(7)=16。
最早开始时间e(i)：表示活动 ai 的最早开始时间，如果活动 ai 是由弧 <Vk,Vj> 表示的，那么活动 ai 的最早开始的时间就等于时间 Vk 的最早发生时间，也就是说：e[i] = ve[k]。
e(i)很好理解，上图中 a4 来说，如果 a4 想要开始活动，那么首先前提就是 V2 事件开始。所以 e[4]=ve[2]。
最晚开始时间l(i)：表示活动 ai 的最晚开始时间，如果活动 ai 是由弧 <Vk,Vj> 表示，ai 的最晚开始时间的设定要保证 Vj 的最晚发生时间不拖后。所以，l[i]=Vl[j]-len<Vk,Vj>。
在得知以上四种统计数据后，就可以直接求得 AOE 网中关键路径上的所有的关键活动。
方法是：对于所有的边来说，如果它的最早开始时间等于最晚开始时间，称这条边所代表的活动为关键活动。由关键活动构成的路径为关键路径。
三、实现关键路径的具体过程
对上图中的 AOE 图求关键路径，首先完成 Ve(j)、Vl(j)、e(i)、l(i) 4 种统计信息的准备工作。
Ve(j)，求出从源点到各顶点的最长路径长度为（长度最大的）：
Vl(j)，求出各顶点的最晚发生时间（从后往前推，多种情况下选择最小的）：
e(i)，求出各边中ai活动的最早开始时间：
l(i),求各边中ai活动的最晚开始时间（多种情况下，选择最小的）：
通过对比 l(i) 和 e(i) ，其中 a1 、 a4 、 a7 、 a8 、 a10 、 a11 的值都各自相同，所以，在图 1 中的 AOE 网中有两条关键路径：
数据结构——图的复习结束，我的第一轮复习更多是以图形的方式，去记住一些生涩的解释，我的复习内容很多都取自前辈们的总结，在此很感谢一些大佬的博客。最后继续努力。
