算法题2 动态规划之最大子序列和&最大子矩阵和

题目

有整数数组int a[]={-1,2,-3,10,-4,7,2,5},找出此数组的一个连续子序列，使得该子序列的和最大。可以得到子序列{10,-4,7,2,5}的和20最大，输出该子序列

分析

设sum[i]为0到i元素数组的最大子序列和，那么sum[i-1]是它的子问题解，可以利用动态规划求解。有关系式

sum[0]=a[0];

sum[i]=a[j],当sum[i-1]<0;

sum[i]=sum[i-1]+a[j],当sum[i-1]>=0;

算法复杂度为O(n),空间复杂度O(1)

代码

int MaxSubSumOfArray(int arr[],int len,int& sub_s,int& sub_e)
{
	if (arr==NULL||len<=0)
	{
		throw std::exception("Invalid input.");
	}

	int sum=arr[0];
	int max=sum;
	int sidx=0,eidx=0;
	for(int i=1;i<len;i++)
	{
		if(sum<0)
		{
			sum=arr[i];
			sidx=i;
			eidx=i;
		}else
		{
			sum=sum+arr[i];
			eidx++;
		}
		//max=(max>sum)?max:sum;
		if (max<=sum)
		{
			max=sum;
			sub_s=sidx;
			sub_e=eidx;
		}

	}
	return max;
}

　　

题目

现有矩阵：

0, -2, -7, 0, 3

9, 2, -6, 2, 5

-4, 1, -4, 1, 6

-1, 8, 0, -2, 2

求该矩阵的一个子矩阵，使子矩阵所有元素的和最大

分析

对于最大子矩阵和sum来说，是子矩阵所有元素相加的和，即可以先同一列上的元素相加，多行降维成一行，进而可以转化为求最大子序列和的问题。循环对矩阵不同行的组合进行降维求最大子序列和，进而求出和最大的那个行组合，即可得到最大子矩阵和。

算法时间复杂度O(n*n*m)

代码

int MaxSumOfMatrix(int **matrix,int row_len,int column_len)
{
	if (matrix==NULL||row_len<=0||column_len<=0)
	{
		throw std::exception("Invalid input.");
		return -1;
	}

	int max=0;

	//申请二维数组空间
	int **sumMatrix=new int*[row_len];
	for (int i=0;i<row_len;i++)
	{
		sumMatrix[i]=new int[column_len]();
	}

	//依次求0到i列累加和
	for (int row=0;row<row_len;row++)
	{
		for (int col=0;col<column_len;col++)
		{
			if (row==0)
			{
				sumMatrix[row][col]=matrix[row][col];
			}else
			{
			    sumMatrix[row][col]=sumMatrix[row-1][col]+matrix[row][col];
			}
			
		}
	}

	int* tmp_arr=new int[column_len]();
	for (int row=0;row<row_len;row++)
	{
		for (int rowx=row;rowx<row_len;rowx++)
		{
			for (int col=0;col<column_len;col++)
			{
				if (row>0)
				{
					tmp_arr[col]=sumMatrix[rowx][col]-sumMatrix[row-1][col];
				}else
				{
					tmp_arr[col]=sumMatrix[rowx][col];
				}
			}																									   

			int col_s=0,col_e=0;
			int re=MaxSumOfArray2(tmp_arr,column_len,col_s,col_e);
			max=(max>re)?max:re;
		}
	}

	//释放
	for (int i=0;i<row_len;i++)
	{
		delete[] sumMatrix[i];
	}
	delete[] sumMatrix;
	
	delete[] tmp_arr;

	return max;
}