KM算法及其优化的学习笔记&&bzoj2539: [Ctsc2000]丘比特的烦恼
感谢 http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/04/28/2475731.html
这篇blog里提供了3个链接……基本上很明白地把KM算法是啥讲清楚了
然而n^4的KM好像并没有什么卵用啊……所以不得不学n^3的
我看了一下各种，大部分blog里写的声称是n^3的KM，其实貌似都是n^4的（包括上面的链接以及上面链接里提供的链接）
这是因为他们有个共同点
他们虽然用slack数的优化组避免了暴力枚举d所消耗的时间，但由于一次增广是n^2的，所以拖慢了复杂度
那么怎么解决这个问题呢？
尛焱轟告诉我们，用bfs增广的KM是n^3的，用dfs增广的KM是n^4的
尛焱轟还告诉我们，可以去UOJ上拉个板子，都是n^3的
于是窝就拉了个策爷的板子来看（然后改了几个变量名，背下来，就学完了……）
为什么dfs会成为算法时间复杂度减小的瓶颈呢？
我们发现，每更新顶标，就要重新从当前点开始dfs找一遍增广路，有很多冗余的操作
实际上，更新完顶标之后，交错树只会增加新的点
那么窝萌不妨用bfs来增广，每次修改完顶标，把没访问到的右侧点的slack值也相应地减去d，那么slack值为0就相当于多了一条可行边，就相当于能够访问到新的节点，也就可以继续找增广路了
这样再把新的点加进队列，就避免了dfs增广的版本中的冗余操作
这样就发挥了slack这一优化的优势，复杂度自然降到O(n^3)
然后窝来帖一下窝的代码（uoj#80 二分图最大权匹配）
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define N 405
#define INF (1LL<<60)
using namespace std;
inline int read(){
int ret=0;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
while ('0'<=ch&&ch<='9'){
ret=ret*10-48+ch;
ch=getchar();
}
return ret;
}
int n,fx[N],fy[N],prev[N];
ll g[N][N],A[N],B[N],slk[N];
bool visx[N],visy[N];
int q[N],qh,qt;
void aug(int v){
if (!v) return;
fy[v]=prev[v];
aug(fx[prev[v]]);
fx[fy[v]]=v;
}
void bfs_KM(int _s){
memset(visx,0,sizeof(visx));
memset(visy,0,sizeof(visy));
memset(slk,127,sizeof(slk));
qh=qt=0;
q[++qt]=_s;
for (;;){
while (qh<qt){
int u=q[++qh];
visx[u]=1;
for (int v=1;v<=n;++v)if (!visy[v]){
if (A[u]+B[v]==g[u][v]){
visy[v]=1;
prev[v]=u;
if (!fy[v]){aug(v);return;}
q[++qt]=fy[v];
continue;
}
if (slk[v]>A[u]+B[v]-g[u][v]){
slk[v]=A[u]+B[v]-g[u][v];
prev[v]=u;
}
}
}
ll d=INF;
for (int i=1;i<=n;++i)
if (!visy[i]) d=min(d,slk[i]);
for (int i=1;i<=n;++i){
if (visx[i]) A[i]-=d;
if (visy[i]) B[i]+=d;
else slk[i]-=d;
}
for (int v=1;v<=n;++v)if (!visy[v]&&!slk[v]){
visy[v]=1;
if (!fy[v]){aug(v);return;}
q[++qt]=fy[v];
}
}
}
ll KM(){
for (int i=1;i<=n;++i){
A[i]=-INF;B[i]=0;
for (int j=1;j<=n;++j)
A[i]=max(A[i],g[i][j]);
}
memset(fx,0,sizeof(fx));
memset(fy,0,sizeof(fy));
for (int i=1;i<=n;++i) bfs_KM(i);
ll ret=0;
for (int i=1;i<=n;++i) ret+=A[i]+B[i];
return ret;
}
bool e0[N][N];
int main(){
int nl=read(),nr=read();
memset(g,0,sizeof(g));
memset(e0,0,sizeof(e0));
for (int m0=read();m0;--m0){
int u=read(),v=read();
g[u][v]=read();
e0[u][v]=1;
}
n=max(nl,nr);
ll ans=KM();
printf("%lld\n",ans);
for (int i=1;i<=nl;++i)
printf("%d ",e0[i][fx[i]]*fx[i]);
puts("");
return 0;
}
感谢尛焱轟神犇的指点
感谢jcvb神犇的代码
感谢上面的那篇blog以及那篇blog里的链接
更新一下，窝在丘比特的烦恼（KM模板题）里把KM封装了一下，方便大（我）家（拖）学（板）习（子）
顺便提一下此题的几个坑爹的地方：1坐标可能为负，2姓名无视大小写，3必须连n对情侣（也就是说不能连的边权必须赋为-INF）
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <string>
#define N 32
#define INF (1e9)
using namespace std;
inline int read(){
int ret=0;char ch=getchar();
bool flag=0;
while (ch<'0'||ch>'9'){
flag=ch=='-';
ch=getchar();
}
while ('0'<=ch&&ch<='9'){
ret=ret*10-48+ch;
ch=getchar();
}
return flag?-ret:ret;
}
struct KM{
int n;
int g[N][N],slk[N],A[N],B[N];
int prev[N],fx[N],fy[N];
bool visx[N],visy[N];
int q[N],qh,qt;
void clear(int _n){
n=_n;memset(g,0,sizeof(g));
}
void AddEdge(int u,int v,int w){
g[u][v]=w;
}
void aug(int v){
if (!v) return;
fy[v]=prev[v];
aug(fx[fy[v]]);
fx[fy[v]]=v;
}
void bfs(int _s){
memset(visx,0,sizeof(visx));
memset(visy,0,sizeof(visy));
memset(slk,127,sizeof(slk));
qh=qt=0;q[++qt]=_s;
for (;;){
while (qh<qt){
int u=q[++qh];
visx[u]=1;
for (int v=1;v<=n;++v)if (!visy[v]){
if (A[u]+B[v]==g[u][v]){
visy[v]=1;
prev[v]=u;
if (!fy[v]){aug(v);return;}
q[++qt]=fy[v];
}
else if (slk[v]>A[u]+B[v]-g[u][v]){
slk[v]=A[u]+B[v]-g[u][v];
prev[v]=u;
}
}
}
int d=INF;
for (int i=1;i<=n;++i)if (!visy[i])d=min(d,slk[i]);
for (int i=1;i<=n;++i){
if (visx[i]) A[i]-=d;
if (visy[i]) B[i]+=d;
else slk[i]-=d;
}
for (int v=1;v<=n;++v)
if (!visy[v]&&!slk[v]){
visy[v]=1;
if (!fy[v]){aug(v);return;}
q[++qt]=fy[v];
}
}
}
int solve(){
memset(A,128,sizeof(A));
memset(B,0,sizeof(B));
memset(fx,0,sizeof(fx));
memset(fy,0,sizeof(fy));
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=n;++j) A[i]=max(A[i],g[i][j]);
for (int i=1;i<=n;++i) bfs(i);
int ret=0;
for (int i=1;i<=n;++i) ret+=A[i]+B[i];
return ret;
}
} km;
int n;
map<string,int> id;
int x[N*2],y[N*2],lmt;
void Upper(string &s){
int l=s.length();
for (int i=0;i<l;++i)if (s[i]>'Z') s[i]-=32;
}
int main(){
string tmp;
lmt=read();n=read();
for (int i=1;i<=2*n;++i){
x[i]=read();y[i]=read();
cin>>tmp;Upper(tmp);id[tmp]=i;
}
km.clear(n);
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=n;++j)
km.AddEdge(i,j,1);
for (cin>>tmp;tmp!="End";cin>>tmp){
Upper(tmp);
int u=id[tmp],v;
cin>>tmp;Upper(tmp);v=id[tmp];
if (u>v) swap(u,v);
km.AddEdge(u,v-n,read());
}
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=n+1;j<=2*n;++j){
bool found=(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])>lmt*lmt;
for (int k=1;k<=2*n&&!found;++k){
int A=y[k]-y[j],B=x[k]-x[j],C=y[k]-y[i],D=x[k]-x[i];
found=A*D==B*C&&(A*C<0||B*D<0);
}
if (found) km.AddEdge(i,j-n,-1e7);
}
printf("%d\n",km.solve());
return 0;
}
