APIO2015简要题解
这场比赛当初是67（？）反正就是Cu滚粗了……
先给个题目的传送门：http://wenku.baidu.com/link?url=mUxdsYomenU-e9SFVPacVtXysemiQA4KnP1EldVuYaB8ECiaLQN4VIAEc19MmHQWyopKLxhzWjWdIE_QrxDWi6PVQt4YuI8IYqPRBN8HUbu
T1
题目大意：给你一个序列，让你分成x段，x∈[A,B]，要求每段之和的or和最小，输出最小的or和。A=1时序列长度n<=2000，A>=1时序列长度n<=100
和位运算相关的这类题大多都是按位DP
从高位做到低位，如果该位可以是0，那么就设为0，否则就置1然后随它去
具体实现用dp
如果A=1，直接用dp[i]记录[1,i]区间内，最少分几个块，随便搞搞O(n^2)转移就出来了，如果dp[n]<=B，这位就可以是0，复杂度O(n^2logn)
如果A>1，不能直接记录最少分几个区间，要把切所有刀的可行性都记下来（原谅我的语言表达……），用dp[i][j]表示[1,i]区间能否内分j块，如果有x∈[A,B]使dp[n][x]=1，这位就可以是0，复杂度O(n^3logn)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define N 2003
#define INF 2003
using namespace std;
inline int read(){
int ret=0;char ch=getchar();
while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
while ('0'<=ch && ch<='9'){
ret=ret*10-48+ch;
ch=getchar();
}
return ret;
}
ll bin[60];int K;
int n,L,R;
ll s[N];
bool f[105][105];
int dp[N];
int main(){
n=read();L=read();R=read();s[0]=0;
for (int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+read();
for (bin[K=0]=1;bin[K]<=s[n];++K) bin[K+1]=bin[K]<<1;
--K;
ll ans=0;
if (L==1) for (;K>=0;--K){
memset(dp,127,sizeof(dp));dp[0]=0;
ans=ans<<1;
for (int i=1;i<=n;++i){
for (int pre=0;pre<i;++pre)
if ((((s[i]-s[pre])>>K)|ans)==ans)
dp[i]=min(dp[i],dp[pre]+1);
}
ans^=(ll)(dp[n]>R);
}
else for (;K>=0;--K){
memset(f,0,sizeof(f));f[0][0]=1;
ans=ans<<1;
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=R;++j)
for (int pre=0;pre<i;++pre)
if (f[pre][j-1]&&(((s[i]-s[pre])>>K)|ans)==ans){
f[i][j]=1;break;
}
for (int i=L;i<=R;++i) ans|=(ll)f[n][i];
ans^=1LL;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
T2
题目大意：给你一条链，每个点上有狗，每条狗都有一个跳跃力，表示它跳一步能跳过几个节点。现在一条狗要传递消息给另一条狗，只有持有消息的狗才能跳，问所有狗总共最少跳几步。链长狗数均为3*10^4
据说现场暴力出奇迹…………excited
以下是正解
对于跳跃力小于sqrt(n)的狗（我把它叫做小狗），按照跳跃力建立sqrt(n)个类似【轨道】（？）（原谅我形象的比喻……）的东西。每个轨道包含n个点，对应原链的每个节点。对应跳跃力为j的轨道上的点向同轨道左&右边第j个点分别连边，权为1。然后每个轨道上的点都向原链上它对应的点连边，权为0。
对于跳跃力大于sqrt(n)的狗（我把它叫做大狗），暴力简图就行，向所有它跳的到的原链上的点连边，边权为跳的步数。
对于原链上的每个点，向每个初始位置在它上面的狗对应的节点连边，权都为0，如果是大狗，就连到这条狗对应的点，如果是小狗，就连到它跳跃力的轨道上当前点对应的点。总结来说，原链的点，就是用来换狗的。
然后跑dijkstra，边和点都是nlogn的。有个细节就是，边我没有预处理建，我直接在dijkstra里找了，感觉这样会好写一点？
说的有点乱……详见代码吧
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define N 5000006
using namespace std;
inline int read(){
int ret=0;char ch=getchar();
while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
while ('0'<=ch && ch<='9'){
ret=ret*10-48+ch;
ch=getchar();
}
return ret;
}
const int K=150;
struct edge{
int adj,next;
edge(){}
edge(int _adj,int _next):adj(_adj),next(_next){}
} e[30004];
int n,g[30004],m;
void AddEdge(int u,int v){
e[++m]=edge(v,g[u]);g[u]=m;
}
int l,doge;
int id[30004],cnt;
int pos[30004],jump[30004];
int code[30004];
struct HeapNode{
int pos,value;
HeapNode(){}
HeapNode(int _pos,int _value):pos(_pos),value(_value){}
};
inline bool operator >(const HeapNode &x,const HeapNode &y){
return x.value>y.value;
}
priority_queue<HeapNode,vector<HeapNode> ,greater<HeapNode> > h;
bool flag[N];
int mind[N];
void dijkstra(int _s,int _t){
memset(mind,127,sizeof(mind));
memset(flag,0,sizeof(flag));
while (!h.empty()) h.pop();
flag[_s]=1;mind[_s]=0;
h.push(HeapNode(_s,0));
while (!flag[_t]&&!h.empty()){
int u=h.top().pos;
h.pop();
flag[u]=1;int nowd=mind[u];
if (u<=l) for (int i=g[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].adj;
if (mind[v]>nowd){
mind[v]=nowd;
h.push(HeapNode(v,mind[v]));
}
}
else if (u>cnt){
u=code[u-cnt];
for (int v=(pos[u]-1)%jump[u]+1;v<=l;v+=jump[u])
if (mind[v]>abs(pos[u]-v)/jump[u]+nowd){
mind[v]=abs(pos[u]-v)/jump[u]+nowd;
h.push(HeapNode(v,mind[v]));
}
}
else{
const int to[3]={(u-1)%l+1,u-(u-1)/l,u+(u-1)/l};
for (int i=0;i<3;++i){
int v=to[i];
if (i&&(u-1)/l!=(v-1)/l) continue;
if (mind[v]>nowd+(i>0)){
mind[v]=nowd+(i>0);
h.push(HeapNode(v,mind[v]));
}
}
}
while (!h.empty()&&flag[h.top().pos]) h.pop();
}
if (!flag[_t]) mind[_t]=-1;
}
int main(){
l=read();doge=read();
n=cnt=l*(K+1);
memset(g,0,sizeof(g));m=1;
for (int i=1;i<=doge;++i){
pos[i]=read()+1;
if ((jump[i]=read())>K) code[(id[i]=++n)-cnt]=i;
else id[i]=jump[i]*l+pos[i];
AddEdge(pos[i],id[i]);
}
dijkstra(pos[1],pos[2]);
printf("%d\n",mind[pos[2]]);
return 0;
}
T3
题目大意：有n个人，每个人有2个房子，有一条河，每个房子都有可能在河任何一边的一个位置。要你建1或2座桥，使得每个人从一个房子到另一个房子（显然不能游泳）的最短距离之和最小，输出最小的和。n<=10^5
当时考场上乱搞一通，连22分算法都想了好久（而且想出来了还无比复杂）……现在看来真是太傻比了。据说此题用各种乱搞的方法也能搞……
首先，对于房子在河的一侧的，读入的时候就能处理掉。所以只需要处理在河2侧的就行了。
对于建1座桥的数据，也就是22分，把所有数丢进去，求个中位数就完了
对于建2座桥的数据，首先我们可以证明，把每个人按2个点的中点从左到右排序，最优解一定是一个前缀走左边的桥，一个后缀走右边的桥。至于具体证明，貌似随便画画图脑补脑补就行了？（虽然想不到TAT）
接下来，问题就变成了，我们需要一个支持插入、删除、求中位数的数据结构，这样什么权值线段树、树状数组上二分、各种STL都能乱搞了
这边顺便安利一下窝的【中根堆】，用4个priority_queue做的（如果不需要删除就只用2个），虽然不开O2很慢，但开了O2速度还是非常可观的。
然后从左往右扫一遍就行了
详见代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define ll long long
#define N 2000006
using namespace std;
inline int read(){
int ret=0;char ch=getchar();
while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
while ('0'<=ch && ch<='9'){
ret=ret*10-48+ch;
ch=getchar();
}
return ret;
}
int n,op;
int a[N],cnt;
int x[N],y[N];
ll ans;
struct MidHeap{
priority_queue<int> l,ld;
priority_queue<int,vector<int> ,greater<int> > r,rd;
int lsize,rsize;ll lsum,rsum;
void clear(){
lsize=rsize=lsum=rsum=0;
while (!l.empty()) l.pop();
while (!r.empty()) r.pop();
while (!ld.empty()) ld.pop();
while (!rd.empty()) rd.pop();
}
void refresh(){
while (l.size() && ld.size() && l.top()==ld.top()){
l.pop();ld.pop();
}
while (r.size() && rd.size() && r.top()==rd.top()){
r.pop();rd.pop();
}
}
void LtoR(){
int tmp=l.top();
--lsize;lsum-=(ll)tmp;l.pop();
++rsize;rsum+=(ll)tmp;r.push(tmp);
}
void RtoL(){
int tmp=r.top();
--rsize;rsum-=(ll)tmp;r.pop();
++lsize;lsum+=(ll)tmp;l.push(tmp);
}
void push(int value){
if (!lsize){
++lsize;lsum+=(ll)value;l.push(value);
return;
}
if (value<=l.top()){
++lsize;lsum+=(ll)value;l.push(value);
if (lsize>rsize+1) LtoR();
refresh();
}
else{
++rsize;rsum+=(ll)value;r.push(value);
if (rsize>lsize) RtoL();
refresh();
}
}
void erase(int value){
if (value<=l.top()){
--lsize;lsum-=(ll)value;ld.push(value);
refresh();
if (lsize<rsize) RtoL();
refresh();
}
else{
--rsize;rsum-=(ll)value;rd.push(value);
refresh();
if (rsize+1<lsize) LtoR();
refresh();
}
}
ll query(){
if (l.empty()) return 0;
ll mid=l.top();
return rsum-lsum+mid*(lsize-rsize);
}
} h0,h1;
inline bool cmp(const int &a,const int &b){
return x[a]+y[a]<x[b]+y[b];
}
int main(){
op=read();n=read();
cnt=0;ans=0;
if (op==1){
for (int i=1;i<=n;++i){
char c0=getchar();
while (!isalpha(c0)) c0=getchar();
int p0=read();
char c1=getchar();
while (!isalpha(c1)) c1=getchar();
int p1=read();
if (c0!=c1){
a[++cnt]=p0;
a[++cnt]=p1;
++ans;
}
else ans+=(ll)abs(p0-p1);
}
sort(a+1,a+cnt+1);
for (int i=1;i<=cnt;++i) ans+=(ll)abs(a[cnt/2]-a[i]);
}
else{
h0.clear();h1.clear();
for (int i=1;i<=n;++i){
char c0=getchar();
while (!isalpha(c0)) c0=getchar();
int p0=read();
char c1=getchar();
while (!isalpha(c1)) c1=getchar();
int p1=read();
if (c0!=c1){
h1.push(x[++cnt]=p0);
h1.push(y[cnt]=p1);
a[cnt]=cnt;
++ans;
}
else ans+=(ll)abs(p0-p1);
}
sort(a+1,a+cnt+1,cmp);
ll ans0=h1.query();
for (int i=1;i<cnt;++i){
h0.push(x[a[i]]);
h0.push(y[a[i]]);
h1.erase(x[a[i]]);
h1.erase(y[a[i]]);
ll now=h0.query()+h1.query();
if (now<ans0) ans0=now;
}
ans+=ans0;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
